W matematyce wykonywane są cztery podstawowe operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Dodanie oznacza połączenie dwóch liczb w jedną większą. Zanim wyruszysz w tę podróż, musisz znać kilka ważnych słów i symboli oraz dokładnie to, co one oznaczają.

Dodatki: Są to liczby, które dodajesz razem.
Suma: Jest to liczba, którą otrzymujesz po połączeniu dodatków. Możesz również nazwać go swoją sumą lub ile masz ich razem.
Plus (+): Plus po prostu oznacza, że coś dodajesz. Pokazuje go znak +, gdy jest zapisany.
Równe (=): Jest to kolejne słowo oznaczające “jest” lub “wynosi” i przychodzi po dodaniu dodatków, aby wszyscy wiedzieli, że odpowiedź jest w pobliżu.
Cyfra: Jest to po prostu inny sposób na powiedzenie “liczba”.
Z tych terminów i znaczeń wszystkich blisko, aby pomóc Ci je zapamiętać, zacznijmy. W pierwszych przykładach użyjemy tych samych liczb lub cyfr, aby ułatwić sobie życie. Po pierwsze, zrobimy regularne zdanie liczbowe.

2 + 3 = 5

Kiedy zaczynasz z 2 ciasteczkami i ktoś daje Ci 3 więcej, masz w sumie 5. W tym zdaniu, 2 i 3 to Twoje dodatki, a 5 to Twoja suma. Jeśli chciałbyś użyć prawdziwych plików cookie, aby zobaczyć proces w akcji, nie krępuj się; pamiętaj tylko, jeśli zjesz jeden z nich, zmierzasz do zupełnie innego rodzaju operacji!

Zamiast używać obiektów, możesz również użyć linii numerycznej, aby pomóc Ci w dodatkowym zadaniu. Jak się pewnie domyśliłeś, linia numeryczna jest tylko linią ze znakami i liczbami. Oto próbka:

Użyj ołówka, aby zrobić kropkę na punkcie początkowym, który byłby twoim pierwszym dodatkiem, liczbą 2. Następnie odbijaj się o 3 miejsca w prawo, ponieważ tyle dodajesz, a wylądujesz na swojej sumie 5. Możesz również odwrócić swoje dodatki i nadal otrzymywać tę samą sumę. Bez względu na to, które liczby pojawią się w twoich problemach z dodawaniem, zawsze zaznaczysz swój pierwszy dodatek w linii numerycznej i przesuniesz w prawo tyle spacji, ile powie ci drugi dodatek.

Kiedy już dostaniesz powiesić prostsze problemy, takie jak te, możesz przejść do dodawania za pomocą dwucyfrowych liczb. Nadal będziesz dodawał dwie liczby razem, aby utworzyć większą, ale proces jest nieco trudniejszy i będziesz potrzebował dłuższej linii numerycznej lub o wiele więcej ciasteczek. Problemy te są łatwiejsze do zrobienia, jeśli stoisz na boku zdania numerycznego, że tak powiem. W świecie matematyki nazywa się to dodawaniem kolumn.

Kiedy używasz dodawania kolumn, ważne jest, aby Twoje numery były ustawione we właściwy sposób, tak jak w tym przypadku:

12
+13

Jeśli zauważysz, w dodatku w kolumnie, znak równości jest zastępowany przez linię, ale oznaczają to samo. W takich problemach jak te, dodajesz najpierw prawą kolumnę: 2 + 3. Ponieważ ich suma wynosi 5, 5 przechodzi bezpośrednio pod nimi poniżej linii “równa się”. Następnie dodasz lewą kolumnę: 1 + 1. Suma tych dwóch jest równa 2, więc jest to dom na lewo od 5. Voila: 12 plus 13 to razem 25!

12
+13
25

Jak dotąd świetnie sobie radzisz, ale sztuczką w opanowaniu każdego talentu jest praktyka. Możesz stworzyć swoje własne problemy, aby pomóc w budowaniu swoich umiejętności; jednocześnie, niektóre wspaniałe strony internetowe mają mnóstwo gotowych problemów z praktyką dodawania problemów tylko czeka na Ciebie, jak:

Doktor Genius
IXL
Matematyka jest zabawna.
Znajdziesz tu również wszystkie rodzaje zabawnych i pomocnych gier dodatkowych:

com
com
Upewnij się, że praktykujesz, i pozwól, aby te zasoby online pomogły Ci po drodze, jak odważysz się na wartość miejsca, dodając większe liczby, odejmowanie, mnożenie, podział i nie tylko!

Zrozumienie wartości miejsca dla numerów jest bardzo ważne, ponieważ zapewnia studentowi możliwość poprawnego zapisania numeru. Wartość miejsca oznacza, która liczba zostanie umieszczona w jakiej pozycji i ile ma wartości. Pozwala to również na odczytanie liczby i poznanie jej wielkości. W przypadku bardziej zaawansowanych problemów matematycznych, może to być kluczowe przy wyznaczaniu miejsc po przecinku, gdy liczby są mnożone.

Określanie wartości miejsca dla całych liczb

System numeracji opiera się na 10 liczbach, od 0 do 9. Kiedy są napisane same, są w pozycji “jedynki”. Jeśli dwie liczby są połączone, pierwsza, po lewej stronie, znajduje się w pozycji dziesiątej, a druga w pozycji dziesiątej. Tak więc, dla 72, 7 byłoby w pozycji dziesiątej, a 2 w pozycji dziesiątej.

Kolejne pozycje to setki, tysiące, dziesięć tysięcy, sto tysięcy, miliony itd. Liczba 20.306 miałaby 2 na dziesięciu tysiącach pozycji, 3 na setkach pozycji i 6 na jedynkach.

Ustalenie wartości miejsca dla miejsc dziesiętnych

Przy określaniu wartości miejsca dla liczb całkowitych, te są najdalej w prawo, a wartość miejsca idzie w lewo, więc dziesiątki są na lewo od tych. Przy określaniu wartości miejsca dla miejsc dziesiętnych, wartość miejsca idzie w drugą stronę, zaczynając od dziesiątek. Czytając z prawej strony miejsca po przecinku odczytuje się dziesiąte, setne, tysięczne, dziesiąte tysięczne itd.

Na przykład, liczba 0,938 ma 9 w dziesiątej pozycji, 3 w setnej pozycji i 8 w tysięcznej pozycji. Liczba 4.2 miałaby 4 w pozycji jeden i 2 w pozycji dziesiątej.

Może to być również pomocne przy wyznaczaniu frakcji. Dla 6.3, liczba 3 jest na dziesiątej pozycji i jako taka byłaby równa 3/10. Liczba może być zapisana jako 6.3 lub 6 3/10. Przy 0,81, 8 jest na dziesiątej pozycji, a 1 na setnej, więc ekwiwalent frakcji wynosiłby 81/100.

Użycie wykresu w celu określenia wartości miejsca

Nauka określania wartości miejscowej liczb może być trudna, ale zastosowanie wykresu miejsc może to ułatwić. Wykres czyta się od lewej do prawej strony, zaczynając od tego, jaka może być największa wartość miejsca i przechodzi do tego, jaka może być najmniejsza. Dla liczb całkowitych, może przejść z pozycji milionowej na pozycję milionową, a z miejscami dziesiętnymi na pozycję tysięczną. Są one napisane na górze opłaty i uczeń może wypełnić wykres z ich liczbami, aby łatwiej było zobaczyć, jaką wartość miejsca ma każda liczba.

Spróbuj użyć wykresu wartości miejsca teraz, aby określić wartość miejsca dla różnych liczb, zarówno liczb całkowitych, jak i dziesiętnych. Pomoże Ci to zrozumieć, jak określić wartość miejsca i jak pisać liczby, gdy potrzebujesz wykonać bardziej zaawansowane zadania matematyczne, takie jak przesuwanie liczby dziesiętnej przez jedną lub więcej wartości miejsca.

Estymacja jest zarówno powszechnym terminem matematycznym, jak i praktyczną umiejętnością w życiu codziennym. Odnosi się do używania obliczeń lub nawet prostych obserwacji w celu uzyskania wartości liczbowej, która jest na tyle bliska rzeczywistej zmierzonej wartości, że może być użyteczna. W codziennych warunkach, to jest szybkie, ale wykształcone zgadywanie.

Nauka szacowania z rozsądną dokładnością może pomóc nie tylko w uzyskaniu dobrej oceny z kolejnego testu matematycznego. Opanowanie tej umiejętności może zaoszczędzić czas na wybijaniu kalkulatorów lub martwieniu się o zapamiętywanie bardziej skomplikowanych liczb lub równań.

Nie ma potrzeby wyłamywania kalkulatora.

Grupa czterech przyjaciół wychodzi na kolację. Otrzymują oni niezwykle dobrą obsługę i chcą zostawić kelnerce dobry napiwek. Całkowity rachunek wynosi 39,53 dolarów. Nikt nie chce wybić kalkulatora po satysfakcjonującym posiłku, więc zamiast tego grupa szacuje, ile każdy z nich musiałby zapłacić, aby zostawić 20% napiwek. Okrągły rachunek do 40 dolarów, co ułatwia zorientowanie się, że 20% napiwek będzie 8 dolarów. Każdy z nich pozostawia dodatkowe 2 dolary i każdy, w tym ich wspaniała kelnerka, pozostawia szczęśliwy bez konieczności wybijania długopisów i papieru w celu określenia dokładnych wartości liczbowych.

Nie daj się oszukać.

W prawdziwym świecie liczy się pieniądz. Te same techniki mogą być stosowane w celu uzyskania ogólnego szacunku kosztów, tak aby konsumenci mieli pewność, że nie są nadmiernie obciążani. Sklepikarz w sklepie spożywczym może zaokrąglić wszystkie ceny za przedmioty, które ma zamiar kupić i dodać je razem. Wynik końcowy będzie nieco wyższy niż rzeczywista dokładna cena, której powinien się spodziewać, ale jeśli cena w kasie jest nawet wyższa niż szacunkowa, kupujący będzie wiedział natychmiast, że coś jest nie tak.

Większość ludzi już korzysta z szacunków każdego dnia

Chociaż pieniądze są bardzo ważne w tym społeczeństwie, nie liczą się we wszystkim, a uzyskanie szybkich odpowiedzi, które są na tyle bliskie, że mogą być użyteczne, może się przydać przy obliczaniu czasu, odległości, powierzchni i więcej. Większość czasu szacunkowa liczba będzie wyrażona werbalnie jako przybliżenie. Na przykład: jeden uczeń odwraca się i pyta drugiego, jak długo jeszcze kończy się jego klasa. Drugi uczeń prawdopodobnie nie odpowie “9 minut i 36 sekund”. Prawdopodobnie zaokrągli liczbę do 10. Liczba ta jest przybliżona, nie jest dokładna, ale jest bardziej przydatna w kontekście komunikowania odstępów czasowych.

Praktyka, praktyka, praktyka, praktyka

Zarówno uczniowie, jak i dorośli szacują czas i odległości, kiedy planują, dają wskazówki i wykonują dowolną liczbę innych codziennych zadań. Jak w przypadku każdej innej umiejętności, najlepszym sposobem na lepsze i dokładniejsze oszacowanie ilości i liczb jest ćwiczenie. Uczniowie mogą chcieć spróbować ćwiczeń takich jak oszacowanie liczby książek na półce w bibliotece. Aby to zrobić, mogą policzyć, ile książek znajduje się na jednej półce, a następnie po prostu pomnożyć liczbę książek przez liczbę półek. Wynik nie odzwierciedli tego, ile książek jest naprawdę książek z matematyczną dokładnością, ale to jest w porządku! Czasami odpowiedź nie musi być dokładna.

Zaokrąglanie odbywa się w celu ułatwienia obsługi numeru przy zachowaniu jego pierwotnej wartości. Zaokrąglanie jest często używane, aby pomóc Ci oszacować, kiedy dodajesz grupę liczb. Kiedy pracujesz z prostymi liczbami, zaokrąglanie jest znacznie łatwiejsze.

Powiedz swoim przyjaciołom, że wszyscy chcą zamówić pizzę i musisz wiedzieć, ile każda osoba będzie musiała się w nią wrzucić. Możesz po prostu zaokrąglić cenę każdej pizzy zamiast dodawać każdą indywidualnie. Zaokrąglanie może pomóc Ci upewnić się, że Joe zapłaci swoją część rachunku bez konieczności wyjmowania kalkulatora.

Istnieją dwie ogólne zasady zaokrąglania:

Jeśli po liczbie, którą musisz zaokrąglić, następuje 5,6,7,8 lub 9, musisz zaokrąglić w górę do następnej liczby.
Jeśli po liczbie, którą zaokrąglasz, następuje cyfra 0,1,2,3 lub 4, musisz zaokrąglić w dół do następnej liczby.
Liczby mogą być zaokrąglone do dziesiątego, setnego, tysięcznego, itp. Ważne jest, aby wiedzieć, które miejsce jest zaokrąglane, aby nie popełnić błędu w procesie.

Ważne jest również, aby najpierw zrozumieć wartość miejsca, abyś wiedział, gdzie znajduje się liczba, którą chcesz zaokrąglić.

Powiedzmy, że próbujesz zaokrąglić liczbę 5,875.

Jeśli zostaniesz poproszony o zaokrąglenie tej liczby do dziesiątej, twoja odpowiedź brzmi 5,880.

Jeśli zostaniesz poproszony o zaokrąglenie do najbliższej dziesiątej, twoja odpowiedź wyniesie 5,900.

Jeśli zostaniesz poproszony o zaokrąglenie do najbliższej tysięcznej części, Twoja odpowiedź wyniesie 6000.

Kiedy już zaokrągliłeś liczbę, o którą zostałeś poproszony, po prostu sprawisz, że wszystkie liczby po prawej stronie staną się zerami. Jest to ważne do zapamiętania lub Twoja odpowiedź nie będzie poprawna.

Nauka do rundy może być szczególnie pomocne, jeśli mama wysyła do sklepu, aby odebrać kilka elementów i chcesz się upewnić, że nie poszedł ponad kwotę pieniędzy dała ci. Powiedzmy, że kupujesz te przedmioty:

Pomidory .99

Mleko 2,56

Twoja mama dała ci tylko 11,00 dolarów i na pewno nie chcesz wydawać własnych pieniędzy, które oszczędzasz na tę grę wideo, więc każdy z tych kwot do najbliższego dolara i szybko dodać je, aby sprawdzić, czy będziesz miał wystarczająco dużo pieniędzy.

Po zaokrągleniu, kwoty wyglądają tak:

Pomidory 1.00

Mleko 4.00

Kawa 3,00

Kiedy dodasz te kwoty razem, otrzymasz 10,00 dolarów. Wygląda na to, że nie będziesz wyciągał żadnych pieniędzy z funduszu gier wideo, ponieważ będziesz miał wystarczająco dużo pieniędzy, aby zapłacić z gotówki swojej mamy.

Zaokrąglanie jest jedną z tych umiejętności matematycznych, które na pewno skończą się przy użyciu długo po opuszczeniu szkoły, więc ważne jest, aby opanować tę pomocną umiejętność teraz.

Kiedy już zaczniesz ćwiczyć zaokrąglanie, stanie się to dla Ciebie jak druga natura. Jeśli pamiętasz powyższe zasady zaokrąglania, nie powinieneś mieć żadnych problemów.

Czym są liczby całkowite?

Liczby całkowite to zbiór liczb, które zawierają zero i wszystkie liczby dodatnie, które liczymy, jak 0, 1, 2, 3, 4, 5 itd. Zestaw ten nie zawiera liczb ujemnych i liczb wyrażonych w ułamkach lub liczbach dziesiętnych. Innymi słowy, liczby całkowite zawierają zero i wszystkie dodatnie liczby całkowite. Zestaw liczb całkowitych trwa wiecznie.

Trochę więcej na temat terminologii

Termin “liczba całkowita” jest czasem używany zamiennie z “liczbą naturalną”, chociaż zestaw liczb naturalnych (lub liczb liczących) nie obejmuje zera. Toczy się dyskusja na temat tego, czy zero jest liczbą całkowitą, czy też nie, ale na potrzeby tego tutoriala rozważymy to samo.

Wyróżnianie liczb całkowitych, całych, całkowitych, ułamków i dziesięcioramiennych

Wyzwanie: Spójrz na poniższe liczby i zdecyduj, które są liczbami całkowitymi.

-3, -1, 0, 1, 3, 1/3, 0.333

Odpowiedz:

-3 i -1 są liczbami ujemnymi, więc nie są to liczby całkowite.

0, 1, i 3 to liczby całkowite.

1/3 nie jest liczbą całkowitą, ponieważ jest to ułamek.

0,333 nie jest liczbą całkowitą, ponieważ jest to liczba dziesiętna.

Liczby parzyste i nieparzyste

Wszystkie liczby całkowite z wyjątkiem zera można opisać jako parzyste lub nieparzyste. Liczba jest nazywana parzystą, jeśli można ją podzielić przez 2 bez reszty. Ponieważ 4 ÷ 2 = 2, liczba 4 jest liczbą parzystą. W rzeczywistości wszystkie liczby kończące się na 0, 2, 4, 6 i 8 są liczbami parzystymi.

Natomiast liczby nieparzyste nie są dzielone przez 2. Jeśli spróbujemy podzielić 5 przez 2, na przykład, otrzymamy iloraz 2 z resztą 1. Wszystkie liczby kończące się nieparzystymi liczbami (1, 3, 5, 7 i 9) są liczbami nieparzystymi.

Wyzwanie: Spójrz na poniższe liczby i zdecyduj, które z nich są nieparzyste, a które parzyste.

12, 24, 33, 49, 50, 62, 75, 88, 91, 100

Odpowiedz: Patrząc na ostatnią cyfrę każdej liczby, możemy ustalić, że 12, 24, 50, 62, 88 i 100 są parzyste, podczas gdy 33, 49, 75 i 91 są nieparzyste.

Podstawowe operacje z parzystymi i nieparzystymi liczbami całkowitymi

Pomocne jest zapamiętanie kilku zasad dotyczących sposobu, w jaki liczby nieparzyste i parzyste współdziałają ze sobą w równaniach.

Zasada dodawania 1: Parzysty + Parzysty = Parzysty (przykład: 2 + 6 = 8)

Zasada dodawania 2: parzysty + nieparzysty = nieparzysty (przykład: 2 + 5 = 7)

Reguła dodawania 3: nieparzysta + nieparzysta = parzysta (przykład: 3 + 5 = 8)

Zasady odejmowania odzwierciedlają zasady dodawania.

Zasada odejmowania 1: Równy – Równy – Równy = Równy (przykład: 8 – 6 = 2)

Zasada odejmowania 2: parzyste – nieparzyste = nieparzyste (przykład: 8 – 5 = 3)

Zasada odejmowania 3: nieparzyste – nieparzyste = parzyste (przykład: 7 – 5 = 2)

Zasady mnożenia są nieco inne.

(Zauważ, że nie ma reguł podziału dla liczb nieparzystych i parzystych.)

Zasada mnożenia 1: Parzysty x Parzysty = Parzysty (przykład: 2 x 4 = 8)

Zasada mnożenia 2: parzyste x nieparzyste = parzyste (przykład: 2 x 3 = 6)

Zasada mnożenia 3: Odd x Odd = Odd (przykład: 3 x 5 = 15)

Krótki wstęp do teorii liczbowej

Teoria liczb jest gałęzią matematyki, która bada liczby całkowite, czyli wszystkie liczby całkowite po obu stronach wiersza liczbowego. Teoria liczb patrzy na konkretne właściwości liczb całkowitych i poszukuje wzorów w sposób, w jaki różne typy liczb są rozłożone lub powiązane ze sobą.

Przykłady teorii liczb

Poniżej znajduje się kilka tematów, które kurs teorii liczb mógłby prawdopodobnie dotyczyć, wraz z kilkoma przykładami każdego z nich.

Zasady podzielności.
Zasady podzielności są narzędziami, które pomogą ci szybko zorientować się, czy liczba jest podzielna przez pewną liczbę całkowitą. Poniżej przedstawiamy kilka przykładowych zasad.

Wszystkie liczby parzyste (kończące się na 0, 2, 4, 6 lub 8) są dzielone przez 2. Na przykład, 1,104 jest dzielone przez 2, ponieważ jego ostatnia cyfra, 4, jest dzielona przez 2.
Liczba jest dzielona przez 3, jeśli suma jej cyfr jest dzielona przez trzy. Na przykład, liczba 288 jest dzielona przez 3, ponieważ 2+8+8=18, która jest dzielona przez 3.
Liczba jest dzielona przez 6, jeśli jest dzielona przez 2 i 3. W drugim przykładzie powyżej ustaliliśmy, że 288 jest podzielna przez 3. Ponieważ kończy się liczbą parzystą, jest również dzielna przez 2, co oznacza, że 288 jest dzielna przez 6.
Czynniki.
Czynniki są to dwie liczby całkowite, które po pomnożeniu razem równają się trzeciej liczbie. Wszystkie liczby z wyjątkiem 0 i 1 mają co najmniej dwa czynniki: 1 oraz sama liczba. Ale liczby mogą mieć o wiele więcej czynników. Na przykład liczba 100 ma 9 czynników: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100.

Liczby pierwsze.
Liczby pierwsze są specjalnym zestawem liczb, które mają tylko 2 różne czynniki: 1 i samego numeru. Liczba 11 jest liczbą pierwszą, na przykład, ponieważ jej jedynymi czynnikami są 1 i 11. Natomiast liczba 12 jest liczbą złożoną (nieprime), ponieważ ma 5 różnych czynników: 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Matematycy interesują się liczbami głównymi, ponieważ reprezentują one bloki wszystkich istniejących liczb. Oznacza to, że każda liczba złożona może być reprezentowana jako iloczyn czynników nadrzędnych. Na przykład 100 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5. Primes są również bardzo interesujące, ponieważ jest jeszcze wiele rzeczy, które nie są jeszcze znane.

Kilka prostych teorii liczbowych problemów i rozwiązań

Wiele podstawowych problemów teorii liczbowych dotyczy faktoringu. Poniżej znajduje się kilka przykładów:

Problem: Masz pewną ilość plików cookie. Możesz dzielić się nimi z 2 osobami, 3 osobami lub 4 osobami na równi. Jaka jest minimalna liczba plików cookie, którą możesz mieć, aby spełnić te warunki?

Rozwiązanie: Odpowiedź brzmi 12, ponieważ 2, 3 i 4 są czynnikami 12, a 12 jest najniższą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Problem: Których z poniższych liczb nie można podzielić na mniejsze równe grupy: 5106, 5281 lub 5751?

Rozwiązanie: 5281 jest liczbą pierwszą, więc nie można jej dzielić na mniejsze równe grupy. Można go znaleźć w procesie eliminacji. 5106 kończy się liczbą parzystą, więc musi być podzielna przez 2. W przypadku 5751, suma jego cyfr (5+7+5+1+1=18) jest dzielona przez trzy, więc 5751 musi być dzielona przez 3.

Teoria zastosowań teorii liczb

Jednym z najbardziej znanych zastosowań teorii liczb jest kryptografia, szczególnie online. Współczesna kryptografia zależy od pierwszorzędnej faktoryzacji bardzo dużych liczb. Teoria liczb w dużym stopniu przyczyniła się również do rozwoju informatyki.

Czym jest sekwencja arytmetyczna?

Sekwencja arytmetyczna to nieskończony ciąg liczb, w którym różnica między każdą parą kolejnych liczb jest zawsze taka sama. Na przykład w sekwencji 1, 3, 5, 7, 9 … różnica między jedną liczbą a drugą zawsze wynosi 2.

Jaka jest stała różnica (d) między dowolnymi dwoma kolejnymi liczbami w następujących sekwencjach?

-5, -3, -1, 1, 3, 5 . . .
.5, 1, 1.5, 2 . . .
10, 6, 2, -2 . . .
W pierwszej sekwencji, d = 2, ponieważ można dodać 2 do dowolnej liczby w sekwencji, aby uzyskać następną liczbę. Na przykład: -3 + 2 = -1 i 1 +2 = 3. W drugiej kolejności, d = .5. W trzeciej kolejności każda liczba jest o 4 mniej niż poprzednia, więc d = -4.

Formuła rekursywna dla sekwencji arytmetycznej

Jednym ze sposobów znalezienia liczby w sekwencji jest użycie formuły rekurencyjnej. Do napisania formuły używamy następującego zapisu:

a jest terminem w sekwencji.

n to liczba terminów w sekwencji.

d jest stałą różnicą pomiędzy terminami.

Tak więc an = an-1 + d

Innymi słowy, aby znaleźć piątą liczbę w sekwencji o stałej różnicy 6, musimy znać czwartą liczbę (an-1) i dodać do niej 6. Jeśli otrzymamy sekwencję 5, 11, 17, 23 i musimy znaleźć następną liczbę, możemy łatwo zastosować tę formułę, dodając 6 do 23 i otrzymując 29. Innymi słowy, jeśli d = 6, a jeśli an – 1 = 23, wówczas

an = 23 + 6 = 29

Wyraźny wzór na sekwencję arytmetyczną

Jeśli jednak mamy tylko pierwszą liczbę w sekwencji (a1), to bardziej użytecznym sposobem na znalezienie innej liczby w sekwencji może być jednoznaczna formuła. Aby zrozumieć, w jaki sposób formuła wyraźna jest wyprowadzana, zacznijmy od następnej sekwencji, gdzie d = -7:

100, 93, 86, 79 . . .

Aby uzyskać pierwszą liczbę, zaczynamy od 100 i dodajemy -7 razy zero. Więc a1 = 100 + (-7 x 0). Aby uzyskać drugą liczbę, odejmujemy 7 razy. Więc a2 = 100 + (-7 x 1). Następna liczba w serii to a3 = 100 + (-7 x 2), i tak dalej. Za każdym razem, gdy dodajemy -7 dokładnie jeden raz mniej niż liczba terminów w sekwencji. Dlatego możemy napisać ogólną formułę do wyrażenia tego wzoru w następujący sposób:

an = a1 + (n-1) x d

Jeśli chcemy znaleźć na przykład 17-ty numer w serii rozpoczynającej się od 3 i posiadającej stałą różnicę .5, możemy wprowadzić tę informację do takiego wzoru:

a17 = 3 + (17-1) x .5 = 11

Praktyka

Problem 1: Jaka jest stała różnica (d) w następującej kolejności?

24, 32, 40, 48, 56 . . .

Rozwiązanie: W tej sekwencji d = 8, ponieważ do każdej liczby możemy dodać po 8, aby uzyskać następną liczbę.

Problem 2: Jaka jest następna cyfra w powyższej kolejności?

Rozwiązanie: Stosując formułę rekurencyjną wiemy, że szósta liczba (a6) jest równa piątej liczbie (a6-1) plus stała różnica (d). Od 56 + 8 = 64, następna liczba w serii to 64.

Problem 3: Napisz wyraźną formułę dla sekwencji w Problemie 1 i użyj tej formuły, aby znaleźć jedenastą liczbę w sekwencji.

Rozwiązanie: Ponieważ an = 24 + (n-1) x 8, i n = 11, wtedy a11 = 24 + (11-1) x 8 = 104.

Co to jest arytmetyka?

Arytmetyka jest często używana jako synonim matematyki, ale istnieje różnica między matematyką a matematyką. Ogólnie rzecz biorąc, matematyka arytmetyczna jest matematyką, która zajmuje się samymi liczbami, podczas gdy matematyka jest bardziej związana z teoriami liczb. Kiedy osoba zaczyna uczyć się matematyki, zaczyna od matematyki arytmetycznej, a następnie dowiaduje się więcej o bardziej zaawansowanej matematyce. Ważne jest, aby mieć te podstawy i zrozumieć, czym jest matematyka arytmetyczna, zanim przejdziemy do bardziej zaawansowanych tematów.

Wymowa arytmetyczna

Arytmetyka jest wymawiana podobnie jak pisownia, co sprawia, że brzmienie słowa jest łatwe do wykonania. Zazwyczaj wymawia się je jako ar-ith-MET-ic z naciskiem na “spotykaną” część słowa. Wymowa może się różnić w zależności od miejsca, jednak jest to najbardziej powszechna wymowa tego słowa. Inne wymowy będą miały większy nacisk na dźwięk “th”, i to również jest poprawne.
Definicja arytmetyczna i różnica w stosunku do matematyki
Arytmetyka pracuje z samymi liczbami. Obejmuje to liczenie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Obejmuje również frakcje, liczby dodatnie i ujemne, kolejność operacji, sekwencjonowanie i więcej. Zasadniczo, matematyka arytmetyczna to sposób, w jaki liczby pracują razem, aby uzyskać odpowiedź na problem.
Nauka matematyki arytmetycznej jest zazwyczaj początkiem edukacji matematycznej osoby rozpoczynającej się od podstaw, chociaż istnieją znacznie bardziej zaawansowane komponenty do arytmetyki, które osoba może zagłębić się później. Zgodnie z definicją arytmetyki arytmetyka zaczyna się od nauki liczenia, a następnie postępuje poprzez dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, sekwencje i bardziej szczegółowe tematy. Jako ogromny obszar matematyki, jest to podstawa dla bardziej zaawansowanej matematyki.
Matematyka, z drugiej strony, zawiera bardziej zaawansowane problemy, takie jak te, które występują w algebrze, geometrii, trygonometrii i rachunku. Są one oparte na tych samych tematów osoba uczy się, gdy uczą się matematyki arytmetycznej, ale iść dalej do teorii zaangażowanych, a nie tylko jak liczby pracują razem, aby uzyskać odpowiedź.
Znajomość definicji matematyki arytmetycznej jest ważna.
Większość ludzi nie jest pewna, dlaczego muszą znać różnicę między rodzajami matematyki. Istnieją jednak ważne różnice między nimi. Kiedy osoba rozumie podstawową definicję tego, jaki rodzaj matematyki będzie wykonywała, np. matematyka arytmetyczna, może wtedy zrozumieć, jak rozwiązać problem przed nią. Z bardziej złożonych problemów, wiedząc, czy będą one przy użyciu arytmetyki lub innego rodzaju matematyki może pomóc im określić, co muszą zrobić, aby rozwiązać problem, takie jak to, czy powinny one korzystać z formuły sekwencjonowania lub formuły geometrycznej. Kiedy jednak zrozumieją definicję, nie jest to coś, o czym będą myśleć. Będzie to po prostu coś, co zrobią automatycznie.

Przykłady arytmetyczne – podstawowe przykłady

Wyświetlenie kilku przykładów arytmetyki może ułatwić zrozumienie, czym dokładnie jest matematyka arytmetyczna w porównaniu z matematyką. Po prostu liczenie liczb całkowitych jest najbardziej podstawowym przykładem arytmetyki i pierwszą rzeczą, której człowiek uczy się robić. Inne proste przykłady to 2+4=4=4 i 17+27=44. Mnożenie liczb 4 razy 7 lub 23 razy 59 oraz dzielenie liczb 14 podzielonych przez 2 lub 330 podzielonych przez 10 to inne przykłady podstawowej arytmetyki.
Matematyka, z drugiej strony, może obejmować promień okręgu, wzór na określenie boków i kątów w trójkącie lub zrozumienie, jak wykonać dowód matematyczny. Są one bardziej zaawansowane i często używają różnych symboli i wzorów zamiast tylko liczb.

Problemy arytmetyczne i początki uczenia się arytmetyki

Uczniowie początkowo uczący się arytmetyki rozpoczną od podstawowych problemów, gdy tylko nauczą się liczyć. Problemy te obejmują dodawanie i odejmowanie liczb poniżej 10, a następnie przechodzą do dodawania i odejmowania liczb wyższych. Później, mnożenie i dzielenie są dodawane do repertuaru. Nauczą się dodawać lub odejmować mniejsze liczby na papierze, a następnie przejdą do możliwości psychicznego dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia. Im bardziej koncentrują się na uczeniu się arytmetyki, tym bardziej mogą robić trudne problemy bez pomocy kalkulatora.

Formuły arytmetyczne – Podstawowe formuły, których każdy będzie używał.

Jak wspomniano powyżej, najbardziej podstawowe wzory na arytmetykę obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Są one zazwyczaj nauczane na początku podróży osoby uczyć się matematyki i są najbardziej podstawowe wzory niezbędne, aby naprawdę zrozumieć nie tylko arytmetyka, ale bardziej zaawansowanych tematów, takich jak algebra lub rachunku. Wiedza o tym, jak liczby oddziałują na siebie i jak mogą ze sobą współdziałać, aby dotrzeć do odpowiedzi, jest niezbędna w całym procesie kształcenia danej osoby.
Gdy osoba, którą uczeń pokonał podstawy, dowiedzą się, w jakiej kolejności należy robić problemy, aby znaleźć odpowiedź na pytanie dotyczące dwóch lub więcej z tych podstawowych formuł. Jest to bardziej złożone i problemy muszą być wykonane w odpowiedniej kolejności, zwanej “kolejnością operacji”, aby osoba uzyskała właściwą odpowiedź. Stanowi to podstawę do uczenia się, jak robić problemy, które obejmują dodawanie i mnożenie, odejmowanie i dzielenie lub wszystkie cztery.
Stamtąd osoby uczą się wielu innych rodzajów matematyki arytmetycznej, np. czym jest pierwiastek kwadratowy lub jak rozwiązywać inne rodzaje problemów, np. ustalając medianę grupy liczb. Ta podstawa obejmuje wszystko to, co muszą wiedzieć, zanim przejdą do bardziej zaawansowanych tematów i zapewnia, że rozumieją wiele sposobów, na jakie liczby mogą ze sobą współpracować, jak również jakie formuły mogą użyć, aby uzyskać odpowiedź.
Jedna formuła arytmetyczna – sekwencja arytmetyczna
Formuła sekwencji jest jedną z najbardziej powszechnych formuł arytmetyki i obejmuje sposób, w jaki liczby pracują razem podczas liczenia. Najbardziej podstawowym z nich jest liczenie przez te: 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej. Liczenie dziesiątkami jest zazwyczaj kolejnym, którego osoba będzie się uczyć, a następnie trudniejszymi. Przykładem sekwencji jest liczenie z różnicą 4 pomiędzy każdą liczbą. Tak więc osoba będzie liczyć 1, 5, 9, 13, 17, 21 i dalej.
Wzór na sekwencję to zazwyczaj a+d, a+2d, a+2d, a+3d i tak dalej. Używając poprzedniego przykładu, gdzie “a” jest jednym, a “d” jest 4, można go zapisać jako 1, 1+4, 1+(2 razy 4), 1+(3 razy 4). Po pomnożeniu, byłoby to 1, 1+4, 1+8, 1+12, itp. Po dodaniu, staje się to oryginalną sekwencją 1, 5, 9, 13 i może być kontynuowane tak długo, jak długo osoba postępuje zgodnie z formułą.
Arytmetyka sekwencji może być łatwa do wykonania, tak jak w powyższych przykładach, ale może być również niezwykle skomplikowana. Podział na łatwiejsze do zarządzania porcjami jak powyżej może pomóc osobie określić, jaka sekwencja jest używana i znaleźć, jaka będzie liczba w pewnym punkcie sekwencji, na górze tylko określając liczby w sekwencji.
Pytania arytmetyczne od podstawowych do bardziej zaawansowanych
Kiedy osoba po raz pierwszy uczy się matematyki arytmetycznej, pytania mogą polegać po prostu na dodawaniu lub odejmowaniu liczb razem, aby dowiedzieć się, w jaki sposób liczby współpracują ze sobą, aby uzyskać ostateczną odpowiedź i jak każdy otrzyma tę samą odpowiedź, gdy robi ten sam problem. Na przykład, 2+2=4 bez względu na to, kto dodaje liczby razem.
Stamtąd pytania mogą stawać się coraz trudniejsze i mogą zawierać formuły sekwencyjne wśród innych rodzajów matematyki arytmetycznej, takich jak korzenie kwadratowe lub sześcianowe. Przykładem takich pytań może być dodanie pierwszych 15 liczb w sekwencji arytmetycznej razem. W tym momencie uczeń musi wiedzieć, jak wyznaczyć liczby w sekwencji na podstawie numeru początkowego i rodzaju sekwencji, a następnie jak dodać pierwsze 15 razem, aby uzyskać tę samą odpowiedź. Istnieje również specjalna formuła, której można się nauczyć, aby pomóc osobie w szybkim wykonaniu tego zadania.

Uczenie się różnych tematów arytmetycznych

Istnieje duża liczba tematów arytmetycznych, których osoba może się nauczyć. Jak zaznaczono, prawdopodobnie rozpoczną od podstawowego liczenia, a następnie nauczą się czterech głównych typów arytmetyki. Stąd tematy mogą obejmować następujące zagadnienia.
Dziwne/Even i pozytywne/negatywne – Wiedza o tym, kiedy liczby są nieparzyste lub parzyste, może pomóc w sekwencjonowaniu, jak również wielu z poniższych tematów. Zrozumienie tego, co pozytywne i negatywne, a także jakie są tego konsekwencje w problemie matematycznym, może pomóc osobie zapewnić, że otrzyma właściwą odpowiedź.
Kolejność operacji – Kiedy dwa lub więcej rodzajów arytmetyki są połączone w problem, zrozumienie, w jakiej kolejności należy je wykonać. Kolejność operacji zapewnia, że istnieje standard określający, co jest pierwsze i jak postępować, aby uzyskać właściwą odpowiedź.
Faktoring – Jest to sposób rozbicia liczby w celu uzyskania mniejszych liczb, które mogą się pomnożyć, aby utworzyć większą liczbę. To może pomóc znacznie ułatwić rozwiązanie problemu.
Liczby pierwsze – Liczby pierwsze to liczby, które można podzielić tylko przez liczbę samą w sobie i liczbę pierwszą. Na przykład, 13 jest uważana za liczbę pierwszą, ponieważ nie można jej podzielić przez nic innego niż 1 lub 13. Liczba 10 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ można ją podzielić przez 1, 2, 5 i 10.
Powers – Powers – Powers to małe liczby w prawym górnym rogu liczby, które mówią osobie, ile razy należy pomnożyć większą liczbę. Na przykład, 3 do trzeciej potęgi oznaczałoby pomnożenie 3 razy 3 razy 3, aby uzyskać 27.
Kwadratowy korzeń – Z mocy, osoba może dowiedzieć się, że 6 do 2 mocy jest równa 36. Kwadratowy korzeń działa odwrotnie. Korzeń kwadratowy z 36 będzie 6, ponieważ 6 jest jedyną liczbą, która pomnaża się z sobą, aby uzyskać 36. Korzeń kwadratowy zawsze będzie jedną liczbą, która pomnoży się z sobą, aby uzyskać większą liczbę. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 144 jest 12, ponieważ 12 razy 12 równa się 144.
Cube Root – To jest podobne do pierwiastka kwadratowego, z wyjątkiem tego, że zajmuje się znalezieniem liczby, która może być pomnożona przez siebie trzy razy, aby uzyskać większą liczbę. Na przykład, korzeń sześcianu z 27 będzie 3, ponieważ 3 razy 3 razy 3 równa się 27.
Mean, Median and Mode – Są to różne sposoby określania średnich. Mogą one być całkowicie różne w zależności od używanych liczb. Ważne jest, aby zrozumieć wszystkie trzy z nich i dowiedzieć się więcej o tym, w jaki sposób można określić średnie w rzeczywistych zastosowaniach.
Uczenie się matematyki arytmetycznej
Nauka tego typu matematyki jest bardzo ważna i musi być wykonana, zanim dana osoba będzie mogła nauczyć się bardziej zaawansowanych typów matematyki. Jest to kluczowa część edukacji każdego człowieka i pozwala mu dowiedzieć się więcej na temat tego, jak liczby współpracują ze sobą. Oprócz edukacji, może to pomóc osobie z wielu prawdziwych zdarzeń w świecie, kiedy będą musieli określić, ile kosztuje produkt, ile pieniędzy mają, jak daleko muszą podróżować, aby dostać się do miejsca i wiele więcej.
Z dogłębnym zrozumieniem matematyki arytmetycznej, można to wszystko zrobić bez konieczności zastanawiania się nad tym. Nie ma potrzeby używania kalkulatora do wykonywania wielu podstawowych napotkanych problemów, a kiedy będą potrzebować kalkulatora, będą wiedzieć, jak go prawidłowo używać, aby uzyskać właściwą odpowiedź.
Matematyka arytmetyczna jest podstawą tego, jak działa matematyka i jak osoba może pracować z liczbami, aby uzyskać odpowiedzi, których potrzebuje. To zagłębia się w relacje między liczbami i jak te relacje mogą wpływać na siebie nawzajem, gdy osoba rozwiązuje problem. Dowiedz się więcej o matematyce arytmetycznej, jak różni się ona od innych rodzajów matematyki, różnych tematów, których osoba się nauczy, i jak może być wykorzystana w świecie rzeczywistym może pomóc każdemu określić, dlaczego będą chcieli dowiedzieć się więcej na ten temat. Może to również pomóc im wiedzieć, gdzie szukać, kiedy potrzebują dodatkowej pomocy lub chcieliby nauczyć się czegoś nowego. Stopniowo ucząc się więcej arytmetyki, każdy może rozwinąć swoją wiedzę z zakresu matematyki na Księżyc i dalej!