Tablica N(0,1)

Wzory:

    \[P(X \leq t) = \begin{cases} \Phi(t) & t \geq 0 \\ 1- \Phi(-t) & t < 0 \end{cases}\]

    \[P(X \geq t) = \begin{cases} 1 - \Phi(t) & t \geq 0 \\ \Phi(-t) & t < 0 \end{cases}\]

    \[P( t \leq X \leq s) = \Phi(s) - \Phi(t)\]

Wiadomości wstępne:

  1. Φ(t)=P(X≤t) – dystrybuanta rozkładu normalnego X∼N(0,1)
  2. Rozkład normalny jest symetryczny, czyli wygląda tak samo względem średniej – w przypadku rozkładu N(0,1) względem x = 0;
  3. Prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki, tzn.

        \[P(X \geq a) + P(X < a ) = 1\]

Przypadki:

1)P(X≤t) gdy t≥0

dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Jest to najprostszy przypadek, który możemy od razu odczytać z tablicy: P(X≤t)=Φ(t)

np. P(≤2.03)=Φ(2.03)≈0.979

2) (X≤t) gdy t<0

dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Sytuacja podobna do 1. tyle że dla t < 0.

Z symetryczności mamy : P(X≤t)=P(X≥−t) (oba prawdopodobieństwa zaznaczone na rysunku)

Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki mamy, że:

P(X≥−t)=1–P(X<−t)≈1–P(X≤−t)=1–Φ(−t)

P(X≤−2)=1–Φ(2)≈1–0.997=0.003

3) P(X≥t) gdy t>0

dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki mamy, że:

P(X≥t)=1–P(X<t)≈1–P(X≤t)=1–Φ(t)

np. P(X≥2.92)=1–Φ(2.92)≈1–0.998=0.02

4) P(X≥t) gdy t<0

dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Z symetryczności rozkładu normalnego wiemy, że:

P(X≥t)=P(X≤−t)=Φ(−t) dla t < 0

np. P(X≥−2.03)=P(X≤2.03)≈0.979

5) P(t≤X≤s)

dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

P(t≤X≤s)=P(X≤s)–P(X<t)≈P(X≤s)–P(X≤t)=Φ(s)–Φ(t)

np. P(1.5≤X≤2.5)=Φ(2.5)–Φ(1.5)≈0.994−0.933=0.061

W przypadku 5. użyłem s i t > 0. Możemy wstawić dowolne s i t. Jeżeli któreś z nich będzie ujemne to będziemy musieli wykorzystać jeszcze inny przypadek.

Adnotacja do przypadku 5: sytuacja w tym przypadku jest bardziej subtelna. Załóżmy taką sytuację: Wychodzimy z domu i idziemy do parku(punkt s). Po drodze wstępujemy jeszcze do sklepu(punkt t). Wiem, że cała droga wynosi 300m . Natomiast z domu do sklepu mamy 200m. Wynika z tego, że ze sklepu do parku jest 100m, a obliczyliśmy to odejmując 300(droga do s) do 200(droga do t).