Estymacja – zadania
W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych. Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty. Przyjmując poziom ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.
JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Przyjmując poziom ufności
Mamy tu zwroty: zbudować przedział ufności oraz poziom ufności
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych.”
Dowiadujemy się, że w zakładzie pracuje 300 robotników, ale nie ma kompletnie nic na temat losowania próby, także przyjmujemy, że jest to liczebność populacji
„Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty.”
W tym momencie zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o wylosowaniu konkretnej ilości pracowników, tak więc liczebność próby to
Przyjmując poziom ufności
Podano poziom (współczynnik) ufności
W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu czasu montażu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA 300 robotników pracujących przy montażu urządzeń elektrycznych | PRÓBA 50 wybranych robotników |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Przyjmując poziom ufności
Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,95 średnia wartość czasu montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników mieści się w przedziale od 17,28 do 18,72 minut.
Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)2. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.”
Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować przeciętne spożycie pieczywa, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)2.”
W tym momencie wiemy, że badano 257 gospodarstw, ale nie ma wyraźnych wskazówek, że jest to próba. Trochę przeskoczymy i w ostatnim zdaniu „oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych” proszą o oszacowanie spożycia dla wszystkich gospodarstw, także te 257 jest tylko częścią całej populacji. Oznaczamy zatem liczebność próby
Podano, że przeciętne spożycie, a więc średnią:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.”
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA czteroosobowe gospodarstwa domowe | PRÓBA 257 wybranych gospodarstw |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych. ”
Wyrażenie przeciętne oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,99 przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych mieści się w przedziale od 15,36 do 16,64 kg.
[/FMP]
Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł. Otrzymano przedział ufności 135,08<m<142,92. Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?
a) 0,999 b) 0,99 c) 0,95 d) 0,90
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Zwracamy uwagę na zdanie:
„Otrzymano przedział ufności
Odnajdujemy w nim zwrot: przedział ufności.
„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”
W ostatnim zdaniu również występuje słowo przedział. Dodatkowym potwierdzeniem, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej jest wyrażenie: współczynnik ufności.
W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności (
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych.”
W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 36 dni, a więc podano liczebność próby:
„Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł.”
Dla obserwowanej próby średnia sprzedaż wyniosła 139 zł, czyli
„Otrzymano przedział ufności
Podano końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średnia dla populacji zawarta jest w przedziale od 135,08 zł do 142,92 zł.
„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”
Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA ogół dni roboczych | PRÓBA 36 wybranych dni roboczych |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności, ale nie ma tu charakterystycznego zwrotu, który pozwalałby na wybór wzoru. Przyjrzyjmy się zdaniu:
„Otrzymano przedział ufności
Podano tu końcówki przedziału ufności dla
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności
Nie znamy wartości
Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać równania z literką
Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej
Najbliższą wartością
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:
Interpretacja brzmi następująco, chociaż nie jest on w tym przypadku niezbędna:
Z ufnością 0,95 wartość ogółu nieznanych przeciętnych dziennych obrotów przedsiębiorstwa brokerskiego mieści się w przedziale od 135,08 zł do 142,192 zł.
[/FMP]
Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”
Odnajdujemy zwrot: oszacowanego przedziału, dodatkowo występuje wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
Z treści zadania wynika, że nie trzeba obliczać końcówek przedziału ufności, a szukany jest współczynnik ufności
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym.”
Podano założenie normalności rozkładu czasu dojazdu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać
„W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników.”
W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 100 pracowników, a więc podano liczebność próby:
„Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego.”
Podano średnią dla próby, czyli
„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”
Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA ogół pracowników | PRÓBA 100 wybranych pracowników |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności. Przyjrzyjmy się zdaniu:
„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”
Wiemy zatem, że zbudowano przedział ufności dla średniej z populacji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności
Znamy jednak długość przedziału ufności
Teraz na chwilę zapomnijmy o zadaniu i przypomnijmy sobie w jaki sposób oblicza się jego długość. Weźmy przykładowo przedział
Aby obliczyć długość przedziału należy od końcówki odjąć jego początek, a więc
Podobnie z przedziałem z zadania, a więc
Opuszczamy nawiasy:
Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej
Najbliższą wartością
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:
Interpretacja nie jest konieczna, zresztą i tak nie znamy końcówek przedziału ufności tylko jego długość.
[/FMP]
Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych. Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową. Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież
a) wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności
b) ustalić względny stopień precyzji oszacowania nieznanego parametru
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności
Mamy tu wyrażenie: wyznaczyć przedział ufności i dodatkowo poziom ufności- w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności możemy zająć się względną precyzją szacunku.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych.”
Tu nie mamy właściwie informacji na temat konkretnych danych liczbowych, ale podano, że populacja to wiejskie rodziny czteroosobowe.
„Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową.”
W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to
„Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież
Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli
„Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji
Dowiadujemy się, że wydatki na odzież są cechą o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. wariancję dla populacji
„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności
Na końcu podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA czteroosobowe rodziny wiejskie | PRÓBA 324 wybranych rodzin |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności
Wyrażenie średnich oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej
czyli
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
Z kolei względna precyzja szacunku:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,95 średnie miesięczne wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych dla całej populacjimieszczą się w przedziale od 116,8 zł do 123,2 zł. Względny błąd szacunku wynosi 2,67%.
[/FMP]
Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu. Ustal względny stopień precyzji szacunku nieznanego parametru.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Zwracamy uwagę na zdanie:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”
Odnajdujemy w nim zwrot: oszacuj metodą przedziałową. Występuje też wyrażenie współczynnik ufności –w związku z tym z całą pewnością zadanie dotyczy estymacji przedziałowej. Formuła na względny błąd szacunku zostanie określona na etapie wyboru wzoru na estymację.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. ”
Dowiadujemy się właściwie tylko, że bada się sportowców pod kątem czasu pokonania dystansu 100 m, a sam dystans nie jest (przynajmniej na razie) konkretnym parametrem do umieszczenia w danych.
„Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy.”
W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”
Podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA sportowcy pokonujący dystans 100 m | PRÓBA 30 wybranych sportowców |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”
Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej
czyli
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy:
Z kolei względna precyzja szacunku:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,95 średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu 100 m mieści się w przedziale od 11,24 sekund do 12,76 sekund. Względny stopień precyzji szacunku wynosi 6,33%.
[/FMP]
Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
W tym zadaniu nie ma słowa, które jednoznacznie wskazywałoby, że jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”
Co prawda występuje wyrażenie współczynnik ufności, ale to trochę za mało. Bardziej naprowadzają nas na właściwy trop słowa: oszacowania wartości oczekiwanej, ponieważ oznacza to, że wartość oczekiwaną oszacowano przedziałem ufności, którego nie określono. Bardzo rzadko stosuje się tzw. estymację punktową (czyli jedna konkretna liczba), ponieważ prawdopodobieństwo właściwego wyniku jest praktycznie równe zero. Poza tym interesuje nas względna precyzja oszacowania, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. W zadaniu nie interesuje nas przedział ufności, ale do podania wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. W związku z tym będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej, ale będziemy liczyć wyłącznie to co nas interesuje.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. ”
W tym momencie dowiadujemy się, że badano 100 największych firm, a więc uznamy to za próbę, której liczebność to
„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”
Podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA wszystkie polskie firmy | PRÓBA 100 wybranych firm |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który był szacowany przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”
Wyraz wartości oczekiwanej oznacza, że budowano przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej
czyli
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: względny błąd szacunku wynosi 2,06%.
[/FMP]
Jeżeli w przypadku tzw. dużej liczebnie próby losowej, poziom ufności wzrasta od 0,95 do 0,99, to która z par wyników względnej precyzji oceny wartości oczekiwanej jest jedynie możliwa?
a) 2,632% – 2% b) 2% – 2,632% c) 2,632% – 2,632% d) 2% – 2%
[FMP]
Zadanie dotyczy bardziej części teoretycznej estymacji przedziałowej. Przypominam, że pytanie odnośnie względnej precyzji oszacowania wiąże się z zagadnieniem estymacji. W tym konkretnym zadaniu ograniczymy się do wyboru wzoru, bo nawet etap wypisania danych nic nie da, ponieważ nie ma innych informacji oprócz współczynników ufności.
Podane są współczynniki ufności:
Wybierając wzór widzimy, że dokonano oceny względnej precyzji wartości oczekiwanej, a liczebność próby jest duża. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
Określmy wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej
czyli
Jak widać w danych nie mamy nic oprócz współczynników ufności, ale bardzo ważne jest, że po zwiększeniu poziomu ufności wartości średniej
Uzupełnijmy wzór na
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
Względna precyzja szacunku:
Podobnie postępujemy dla
Ponownie należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
Względna precyzja szacunku:
Porównajmy obydwa wyniki:
Zauważmy, że wielkości zaznaczone na czerwono w obu formułach są identyczne. Zmieniły się tylko współczynniki ufności, a tym samym wartości statystyk odczytanych z tablic. W związku z tym, że nie znamy danych zaznaczonych na czerwono możemy nieco krócej zapisać względne precyzje szacunku jako
Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość
[/FMP]
W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdania:
„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90. ”
Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego.”
W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to
„Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20.”
Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią
„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. ”
W tym zdaniu nie ma żadnych wartości przydatnych na etapie wypisywania danych.
„Przyjąć współczynnik ufności 0,90. „
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA zbiorowość uczniów rozwiązujących zadanie matematyczne | PRÓBA 8 wybranych uczniów |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów.”
Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Znak
Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:
Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi
Czym jest
Obliczamy średnią:
Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe
i dla
Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.
Możemy już podstawiać liczby za
Odchylenie standardowe
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: .
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,90 średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów mieści się w przedziale od 13,63 minut do 21,63 minut.
[/FMP]
W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”
Odnajdujemy w nich zwroty: wyznacz przedział ufności i współczynnik ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205.”
W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA pole magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym | PRÓBA 6 wybranych pomiarów pola magnetycznego |
|
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.”
Wyraz średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Znak
Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:
Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi
Czym jest
Obliczamy średnią:
Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe
i dla
Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.
Możemy już podstawiać liczby za
Odchylenie standardowe
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: .
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,95 wartość nieznanej średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie (czyli dla populacji) mieści się się w przedziale od 0,192 Oe do 0,208 Oe.
[/FMP]
Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej. Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4. Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:
„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności
Odnajdujemy w nim zwroty: zbudować przedział ufności i poziom ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej.”
Co prawda nie określono precyzyjnie, czy mamy do czynienia z próbą, ale z późniejszej treści zadania wynika, że trzeba oszacować liczbę metrów kwadratowych tynku dla przeciętnego tynkarza. Badanych tynkarzy potraktujemy jako próbę, a jej liczebność to
„Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4.”
Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią
„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA tynkarze | PRÓBA 20 wybranych tynkarzy |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności
Wyrażenie wartości oczekiwanej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
W szeregu punktowym średnią liczymy ze wzoru
W naszym przypadku
Czym jest
Numer klasy | ||
Uzupełniając
Numer klasy | |||
Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe
i dla ilości klas z zadania
Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdej wariantu cechy
Numer klasy | |||||
Odchylenie standardowe
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,90 wartość oczekiwana liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza mieści się w przedziale od 4,58 m2/h do 5,42 m2/h.
[/FMP]
W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):
Powierzchnia mieszkalna | Liczba mieszkań |
15 – 25 | 10 |
25 – 35 | 25 |
35 – 45 | 40 |
45 – 55 | 30 |
55 – 65 | 10 |
65 – 75 | 5 |
Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”
Odnajdujemy w nim zwroty: zbuduj przedział ufności i poziom ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):”
Powierzchnia mieszkalna | Liczba mieszkań |
15 – 25 | 10 |
25 – 35 | 25 |
35 – 45 | 40 |
45 – 55 | 30 |
55 – 65 | 10 |
65 – 75 | 5 |
W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to
Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią
„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA mieszkania wybudowane w 2001 w Gdańsku | PRÓBA 120 wybranych mieszkań |
dane tabelaryczne – (można obliczyć średnią |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90. ”
Wyrażenie średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (powierzchnia mieszkalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.
(powierzchnia mieszkalna) | (liczba mieszkań) |
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością
W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru
Na początku wyjaśnijmy symbol
Wracamy do wzoru na średnią. Znak
W naszym przypadku
Czym jest
Numer klasy | (wiek pracowników) | środki przedziałów | |
Uzupełniając
Numer klasy | środki przedziałów | ||
Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe
i dla ilości klas z zadania
Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału
Numer klasy | |||||
Odchylenie standardowe
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,90 nieznana średnia wartość powierzchni dla populacji mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku mieści się się w przedziale od 39,88 m2 do 43,52 m2.
Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia. Otrzymano następujące wyniki (w punktach):
Wyniki testu | 5 – 9 | 10 – 14 | 15 – 19 | 20 – 24 | 25 – 29 | 30 – 34 | 35 – 39 | 40 – 44 |
Liczba osób | 2 | 16 | 25 | 50 | 50 | 40 | 15 | 2 |
Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdania:
„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99.”
Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia.”
W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to
„Otrzymano następujące wyniki (w punktach):”
Wyniki testu | 5 – 9 | 10 – 14 | 15 – 19 | 20 – 24 | 25 – 29 | 30 – 34 | 35 – 39 | 40 – 44 |
Liczba osób | 2 | 16 | 25 | 50 | 50 | 40 | 15 | 2 |
Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią
„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów.”
Z punktu widzenia analizy danych nie mamy w tym zdaniu istotnych informacji.
„Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?”
Podano też współczynniki ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA kandydaci na studia ekonomiczne | PRÓBA 200 wybranych osób |
dane tabelaryczne – (można obliczyć średnią |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w końcówce zadania wyłapujemy słowo:
„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. ”
Słowo średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy
Ten sam wzór będzie użyty dla obydwu przyjętych współczynników ufności. Oprócz podania przedziałów ufności należy określić stopień precyzji oszacowania obu wyników. Najbardziej miarodajnym miernikiem jest względna precyzja szacunku
czyli
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór
Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wyniki testu) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.
(wyniki testu) | (liczba osób) |
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością
(wyniki testu) | (liczba osób) |
Przechodzimy do liczenia brakującej średniej i odchylenia standardowego.
W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru
Na początku wyjaśnijmy symbol
Wracamy do wzoru na średnią. Znak
W naszym przypadku
Czym jest
Numer klasy | (wiek pracowników) | środki przedziałów | |
Uzupełniając
Numer klasy | środki przedziałów | ||
Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe
i dla ilości klas z zadania
Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału
Numer klasy | |||||
Odchylenie standardowe
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Dla
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
Z kolei dla
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis
Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
Analogicznie określimy względną precyzję szacunku
Względna precyzja szacunku dla
Względna precyzja szacunku dla
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy dla
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,95 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,51 punktów do 26,49 punktów.
Ostatecznie otrzymujemy dla
Interpretacja brzmi następująco:
Z ufnością 0,99 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,2 punktów do 26,8 punktów.
Po zmianie współczynnika ufności z 0,95 do 0,99 względna precyzja oszacowania zmalała z poziomu 3,88% do 5,1%. Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież po zwiększeniu współczynnika ufności otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA wszyscy ogrodnicy pewnego regionu | PRÓBA 180 wybranych ogrodników |
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA osoby cierpiące na pewną chorobę | PRÓBA 300 wybranych osób |
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA mieszkańcy pewnego miasta | PRÓBA 4000 wybranych mieszkańców |
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA urządzenia elektrotechniczne produkowane przez dany zakład | PRÓBA |
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA mieszkańcy pewnego amerykańskiego miasteczka | PRÓBA 1000 wybranych mieszkańców |
[/FMP]
[FMP]
POPULACJA studenci SGH | PRÓBA 100 wybranych studentów |
[/FMP]
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.
Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować wariancję czasu montażu, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: poziom ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W pewnym warsztacie wybrano 25 pracowników w celu ustalenia średniego czasu poświęcanego na zmontowanie jednego przyrządu.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich pracowników warsztatu. Oznaczamy więc liczebność próby
Średnia czasu montażu była równa 25 minut, a odchylenie standardowe 4 minuty.
W poprzednim zdaniu zaczął się opis próby, więc dla wymienionych parametrów zastosujemy oznaczenia z próby. Średnia czasu montażu wynosi 25 minut, a więc
Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.
Podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA pracownicy warsztatu | PRÓBA 25 wybranych pracowników |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.
Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka
Z kolei zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja czasu montażu dla ogółu pracowników warsztatu mieści się w przedziale od 10,16 do 32,26 minut 2 .
Powstała dziwna jednostka – minuty 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.
[/FMP]
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności
Występują tu zwroty: oszacować metodą przedziałową i poziom ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Czas toczenia detalu ma rozkład
Zapis
Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności
Podano poziom ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA wszystkie detale | PRÓBA 16 wybranych detali |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności
Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka
Z kolei zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja czasu toczenia detali mieści się w przedziale od 3,20 do 11,02 [min 2 ].
Powstała dziwna jednostka – min 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.
[/FMP]
W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg. Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:(0,0115 ; 0,0724) . Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?
a) 0,99 b) 0,98 c) 0,96 d) 0,95 e) żadna odpowiedź nie jest poprawna
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:
Występuje tu zwrot: oszacowano przedział ufności i został on już konkretnie określony – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Dodatkowo w ostatnim zdaniu użyto wyrażeniawspółczynnik ufności .
Podano końcówki przedziału ufności
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich konserw. Zapisujemy więc liczebność próby jako
Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:
Znamy również końcówki przedziału ufności dla wariancji.
Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?
Niewiadomą jest współczynnik ufności, a więc
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA wszystkie konserwy | PRÓBA 15 wybranych konserw |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który był oszacowany przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:
Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:
Słowo wariancja oznacza, że przedział ufności został zbudowany oczywiście dla wariancji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Na tym etapie na razie poprzestajemy, ponieważ nie jesteśmy w stanie uzupełnić współczynnika ufności
Nie znamy wartości
Sposób rozwiązania powstałego równania zależy wyłącznie od Was, jeśli oznaczenie
I już od razu lepiej to wygląda, prawda?
Wymnażamy przez
Dzielimy przez 0,0115 w celu otrzymania
Ostatecznie
Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej
Najbliższą wartością statystki 29,348 znalezioną w tablicy na poziomie 14 stopni swobody jest 29,141. Odpowiada ona dla prawdopodobieństwa równego 0,01. Specjalnie nie używam symbolu
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności
Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,98 nieznana wariancja wagi ogółu konserw mieści się w przedziale od 0,0115 do 0,0724 kg 2 .
Powstała dziwna jednostka – (kg) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.
[/FMP]
Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty. Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173. Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty.
Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to
Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173.
Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią
Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości wpłacanych kwot i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko przepisać
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA osoby dokonujące opłat na poczcie z tytułu usług telekomunikacyjnych | PRÓBA 10 wybranych osób |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwot jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Jak widać brakuje tylko
Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się, zatem wariację liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi:
Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco:
Znak
Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:
Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi
Czym jest
Obliczamy średnią:
Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję
i dla
Możemy już podstawiać liczby za
A więc
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka
Z kolei zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja wpłat w populacji mieści się w przedziale od 117,12 do 825,19 (zł) 2 .
Powstała dziwna jednostka – (zł) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.
[/FMP]
Dokonano badań drogowych 30 samochodów FSO 1500 pod względem osiąganej prędkości maksymalnej. Wyniki były następujące:
Prędkość maksymalna (km/godz.) | 130 – 140 | 140 – 150 | 150 – 160 | 160 – 170 |
Liczba samochodów | 3 | 8 | 14 | 5 |
Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).
Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: oszacować metodą przedziałową i poziom ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Dokonano badań drogowych 30 samochodów FSO 1500 pod względem osiąganej prędkości maksymalnej.
Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, ponieważ badamy określoną ilość samochodów. Liczebność próby to
Wyniki były następujące:
Prędkość maksymalna (km/godz.) | 130 – 140 | 140 – 150 | 150 – 160 | 160 – 170 |
Liczba samochodów | 3 | 8 | 14 | 5 |
Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią
Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA samochody FSO 1500 | PRÓBA 30 wybranych samochodów |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).
Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Jak widać brakuje tylko
Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (prędkość maksymalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością
Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:
W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru
W naszym przypadku
Czym jest
Numer klasy | |||
Uzupełniając wzór średniej dla
Numer klasy | |||
Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:
i dla
Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału
Numer klasy | |||||
Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka
Z kolei zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja prędkości maksymalnej samochodów FSO 1500 mieści się w przedziale od 52,40 do 125,93 (km/godz.) 2 .
Powstała dziwna jednostka – (km/godz.) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.
[/FMP]
Na podstawie próby losowej obejmującej 26 paragonów kasowych pewnego stoiska kosmetycznego otrzymano średnią kwotę zakupu wynoszącą 48,80 zł i odchylenie standardowe 15 zł. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.
Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Na podstawie próby losowej obejmującej 26 paragonów kasowych pewnego stoiska kosmetycznego otrzymano średnią kwotę zakupu wynoszącą 48,80 zł i odchylenie standardowe 15 zł .
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich paragonów kasowych. Oznaczamy więc liczebność próby
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.
Podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA paragony kasowe stoiska kosmetycznego | PRÓBA 26 wybranych paragonów |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.
Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka
Z kolei zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 nieznane odchylenie standardowe w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego mieści się w przedziale od 12,46 do 20,01 zł.
[/FMP]
W celu oszacowania dyspersji jednostkowego kosztu produkcji (w zł) pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady, wylosowano do próby w niezależny sposób 196 zakładów otrzymując m.in.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.
Występują tu zwroty: wyznaczyć przedział ufności i współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W celu oszacowania dyspersji jednostkowego kosztu produkcji (w zł) pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady, wylosowano do próby w niezależny sposób 196 zakładów otrzymując m.in.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek produkcyjnych spośród wszystkich zakładów. Oznaczamy więc liczebność próby
Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.
Podano współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA zakłady produkcyjne | PRÓBA 196 wybranych zakładów |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.
Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,99 nieznane odchylenie standardowe jednostkowego kosztu produkcji pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady mieści się w przedziale od 6,46 do 8,39 zł.
[/FMP]
W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK). Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł. Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.
Występują tu zwroty: oszacować przedział ufności Neymana i prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK).
Na początku dowiadujemy się, że populacja liczy
Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł.
Dopiero teraz zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród zadłużonych pracowników. Stanowią oni 7,5% osób dłużników SKOKów. Obliczamy więc liczebność próby
Dodatkowo podano jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. odchylenie standardowe
Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.
W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości spłacanych rat i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA 5000 pracowników zakładu | PRÓBA 150 wybranych pracowników |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.
Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe wszystkich zadłużonych pracowników mieści się w przedziale od 71,88 do 90,19 zł.
[/FMP]
Spośród rencistów województwa podkarpackiego wylosowano 60 osób i zapytano o wysokość rocznego dochodu z tytułu pobieranej renty, a wyniki przedstawiono następująco:
Dochód (w tys. zł) | 0 – 4 | 4 – 8 | 8 – 12 | 12 – 16 | 16 – 20 | 20 – 24 |
Liczba rencistów | 2 | 15 | 23 | 10 | 6 | 4 |
Źródło: dane umowne
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.
[FMP]
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.
Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Spośród rencistów województwa podkarpackiego wylosowano 60 osób i zapytano o wysokość rocznego dochodu z tytułu pobieranej renty, a wyniki przedstawiono następująco:
Dochód (w tys. zł) | 0 – 4 | 4 – 8 | 8 – 12 | 12 – 16 | 16 – 20 | 20 – 24 |
Liczba rencistów | 2 | 15 | 23 | 10 | 6 | 4 |
Źródło: dane umowne
Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.
Podano też współczynnik ufności
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA renciści województwa podkarpackiego | PRÓBA 60 wybranych rencistów |
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowegodochodu dla populacji rencistów.
Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego
Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór
Jak widać do obliczenia końcówek przedziału ufności potrzebujemy odchylenia standardowego
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością
Aby otrzymać odchylenie standardowe i tak musimy obliczyć wariancję, bo odchylenie jest pierwiastkiem kwadratowym z wariacji. Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:
W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru
W naszym przypadku
Czym jest
Numer klasy | |||
Uzupełniając wzór średniej dla
Numer klasy | |||
Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:
i dla
Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału
Numer klasy | |||||
Odchylenie standardowe
Wracamy do danych z tabeli i wreszcie uzupełniamy wzór
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis
Wracamy do obliczeń i podstawiamy
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy:
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe dochodu dla populacji rencistów województwa podkarpackiego mieści się w przedziale od 4,14 do 5,94 tys. zł.
[/FMP]
Podstawowym działem wnioskowania statystycznego jest teoria estymacji, która stanowi zbiór metod pozwalających na wnioskowanie o postaci rozkładu populacji generalnej (tzn. o wartości parametrów rozkładu lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie obserwacji uzyskanych w próbie losowej. Inaczej mówiąc, estymacja polega na szacowaniu wartości parametrów, ewentualnie postaci rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej, na podstawie rozkładu empirycznego określonego dla próby.
Jeśli szacuje się tylko wartość parametrów rozkładu populacji generalnej, mówimy o estymacji parametrycznej. Jeśli natomiast postępowanie dotyczy również szacowania postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej, mówimy o estymacji nieparametrycznej. W odniesieniu do estymacji parametrycznej można mówić o estymacji punktowej oraz estymacji przedziałowej, w zależności od sposobu, w jaki dokonuje się szacunku wartości parametrów.
W estymacji punktowej za ocenę wartości parametru przyjmuje się jedną konkretną wartość otrzymaną na podstawie wyników próby, oczywiście przy zachowaniu odpowiednich reguł wyznaczania tej wartości. Natomiast w estymacji przedziałowej wyznacza się odpowiednio pewien liczbowy przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem zawiera się wartość szacowanego parametru.
Podstawowe własności estymatorów
Podstawowym narzędziem estymacji punktowej jest estymator.
Estymatorem Tn parametru Θ rozkładu populacji generalnej nazywamy statystykę z próby Tn = t(X1, X2 …, Xn), która służy do oszacowania wartości tego parametru.
Jak wynika z definicji estymatora jako statystyki z próby, jest on zmienną losową, a zatem ma określony rozkład z odpowiednimi parametrami. Rozkład estymatora T w oczywisty sposób jest determinowany przez rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej, a przy tym jest zależny od parametru Θ. Wynika to z założenia, że każda z niezależnych zmiennych Xi, stanowiących próbę (których funkcją jest T), ma taki rozkład, jak zmienna X w populacji generalnej, a zatem rozkład każdej zmiennej X, jest charakteryzowany przez dystrybuantę F(x, Θ).
Ze względu na to, iż szacunku parametru dokonuje się na podstawie próby losowej, istnieje możliwość popełnienia błędu. Różnica między estymatorem a wartością parametru: Tn-Θ=d nazywana jest błędem estymacji parametru Θ. Błąd estymacji jest zmienną losową.
Formułując definicję estymatora, stwierdziliśmy, że jest to dowolna statystyka służąca do szacowania parametru. Ta “dowolność” postaci estymatora jest oczywiście ograniczona. Postać estymatora musi być logicznie uzasadniona, tzn. musimy mieć pewność, że stosując określony estymator pewnego parametru, będziemy za pomocą tego estymatora otrzymywali z próby wyniki bliskie wartości parametru. Jest oczywiste, że np. do estymacji wartości oczekiwanej w populacji generalnej nie można użyć wariancji z próby i że lepszym estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna z próby, ale takie intuicyjne określanie postaci estymatora może być zawodne – szczególnie gdy można znaleźć różne estymatory tego samego parametru. Powstaje zatem problem określenia własności “dobrego” estymatora, tzn. takiego, który zapewnia otrzymywanie wyników z próby zbliżonych do rzeczywistej wartości parametru.