Estymacja – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 2-28 należy wykupić abonament

W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych. Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty. Przyjmując poziom ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Mamy tu zwroty: zbudować przedział ufności oraz poziom ufności  – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych.

Dowiadujemy się, że w zakładzie pracuje 300 robotników, ale nie ma kompletnie nic na temat losowania próby, także przyjmujemy, że jest to liczebność populacji  .

Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty.

W tym momencie zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o wylosowaniu konkretnej ilości pracowników, tak więc liczebność próby to  . Podano też średni czas montażu dla próby czyli  i odchylenie standardowe  . Oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby.

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Podano poziom (współczynnik) ufności  . Od razu wyznaczamy  .

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu czasu montażu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać  – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

300 robotników pracujących przy montażu urządzeń elektrycznych

PRÓBA

50 wybranych robotników

 – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym 

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika1

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika4

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnia wartość czasu montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników mieści się w przedziale od 17,28 do 18,72 minut.

Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)2. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować przeciętne spożycie pieczywa, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)2.

W tym momencie wiemy, że badano 257 gospodarstw, ale nie ma wyraźnych wskazówek, że jest to próba. Trochę przeskoczymy i w ostatnim zdaniu „oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych” proszą o oszacowanie spożycia dla wszystkich gospodarstw, także te 257 jest tylko częścią całej populacji. Oznaczamy zatem liczebność próby  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Podano, że przeciętne spożycie, a więc średnią:  i wariancję  . Skoro określono wariancję to od razu warto wyznaczyć odchylenie standardowe  , a więc  .

Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.

Podano też współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

czteroosobowe gospodarstwa domowe

PRÓBA

257 wybranych gospodarstw

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych. 

Wyrażenie przeciętne oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika22

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

 

grafika23

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych mieści się w przedziale od 15,36 do 16,64 kg.

Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł. Otrzymano przedział ufności 135,08<m<142,92. Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?

a) 0,999 b) 0,99 c) 0,95 d) 0,90

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Zwracamy uwagę na zdanie:

Otrzymano przedział ufności  .

Odnajdujemy w nim zwrot: przedział ufności.

Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?

W ostatnim zdaniu również występuje słowo przedział. Dodatkowym potwierdzeniem, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej jest wyrażenie: współczynnik ufności.

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności (  ), a szukany jest współczynnik ufności  z reguły występujący w danych, określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych.

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 36 dni, a więc podano liczebność próby:  .

Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł.

Dla obserwowanej próby średnia sprzedaż wyniosła 139 zł, czyli  , a odchylenie standardowe 12 zł, czyli  . Oczywiście użyliśmy oznaczeń średniej i odchylenia standardowego dla próby.

Otrzymano przedział ufności  .

Podano końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średnia dla populacji zawarta jest w przedziale od 135,08 zł do 142,92 zł.

Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

ogół dni roboczych

PRÓBA

36 wybranych dni roboczych

 – końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności, ale nie ma tu charakterystycznego zwrotu, który pozwalałby na wybór wzoru. Przyjrzyjmy się zdaniu:

Otrzymano przedział ufności  .

Podano tu końcówki przedziału ufności dla  , czyli wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika5

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności  , a tym samym nieznana jest  , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości  , więc potraktujmy ją jak niewiadomą i rozwiążmy równanie aby ją wyznaczyć. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 135,08 czy 142,92? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach  jest tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. A więc na przykład:

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać równania z literką  , to może nią spokojnie na początku zastąpić symbol  .

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej  , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością  we wnętrzu tablicy stanowi  . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy  i  czyli  . Pamiętajmy, że jest to  .

grafika6

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:  czyli odpowiedź C.

Interpretacja brzmi następująco, chociaż nie jest on w tym przypadku niezbędna:

Z ufnością 0,95 wartość ogółu nieznanych przeciętnych dziennych obrotów przedsiębiorstwa brokerskiego mieści się w przedziale od 135,08 zł do 142,192 zł.

Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

Odnajdujemy zwrot: oszacowanego przedziału, dodatkowo występuje wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Z treści zadania wynika, że nie trzeba obliczać końcówek przedziału ufności, a szukany jest współczynnik ufności  z reguły występujący w danych, zatem określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Zresztą podano długość przedziału ufności. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym.

Podano założenie normalności rozkładu czasu dojazdu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać  – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym  .

W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników.

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 100 pracowników, a więc podano liczebność próby:  .

Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego.

Podano średnią dla próby, czyli  i odchylenie standardowe dla próby. Co prawda nie jest podane bezpośrednio, ale jako połowa średniej, a więc  . Oczywiście użyliśmy oznaczeń dla próby.

Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności  . Określono również długość szacowanego przedziału ufności – 7,84 min.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

ogół pracowników

PRÓBA

100 wybranych pracowników

 – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym 

 – długość przedziału ufności dla średniej z populacji

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności. Przyjrzyjmy się zdaniu:

Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

Wiemy zatem, że zbudowano przedział ufności dla średniej z populacji  – przypominam, że przedział ufności jest budowany dla parametrów z populacji i dlatego nie  tylko  .

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika32

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności  , a tym samym nieznana jest  , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u).

Znamy jednak długość przedziału ufności  i w związku z tym należy jakoś tą informację wykorzystać.

Teraz na chwilę zapomnijmy o zadaniu i przypomnijmy sobie w jaki sposób oblicza się jego długość. Weźmy przykładowo przedział  i naszkicujmy go na osi.

grafika33

Aby obliczyć długość przedziału należy od końcówki odjąć jego początek, a więc  .

Podobnie z przedziałem z zadania, a więc  , można oczywiście zapisać go w taki sposób  . Co prawda przedział nie jest uzupełniony do końca, ale postępujemy analogicznie:

Opuszczamy nawiasy:

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej  , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością  we wnętrzu tablicy stanowi  . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy  i  czyli  . Pamiętajmy, że jest to  .

grafika34

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:  .

Interpretacja nie jest konieczna, zresztą i tak nie znamy końcówek przedziału ufności tylko jego długość.

Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych. Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową. Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież  zł. Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji  . Należy:

a) wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ,

b) ustalić względny stopień precyzji oszacowania nieznanego parametru  .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ”

Mamy tu wyrażenie: wyznaczyć przedział ufności i dodatkowo poziom ufności- w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności możemy zająć się względną precyzją szacunku.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych.”

Tu nie mamy właściwie informacji na temat konkretnych danych liczbowych, ale podano, że populacja to wiejskie rodziny czteroosobowe.

„Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową.”

W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież  zł.”

Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli  .

„Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji  ”

Dowiadujemy się, że wydatki na odzież są cechą o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. wariancję dla populacji  . Od razu możemy wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji  i ostatecznie zapisać , że badana cecha na rozkład normalny o nieznanej średniej  i znanym odchyleniu standardowym  .

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ”

Na końcu podano współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

czteroosobowe rodziny wiejskie

PRÓBA

324 wybranych rodzin

 – rozkład normalny o nieznanej średniej  i  odchyleniu standardowym 

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  .”

Wyrażenie średnich oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  jest znana  i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

grafika16

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika4

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Z kolei względna precyzja szacunku:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnie miesięczne wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych dla całej populacjimieszczą się w przedziale od 116,8 zł do 123,2 zł. Względny błąd szacunku wynosi 2,67%.

Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu. Ustal względny stopień precyzji szacunku nieznanego parametru.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Odnajdujemy w nim zwrot: oszacuj metodą przedziałową. Występuje też wyrażenie współczynnik ufności –w związku z tym z całą pewnością zadanie dotyczy estymacji przedziałowej. Formuła na względny błąd szacunku zostanie określona na etapie wyboru wzoru na estymację.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. ”

Dowiadujemy się właściwie tylko, że bada się sportowców pod kątem czasu pokonania dystansu 100 m, a sam dystans nie jest (przynajmniej na razie) konkretnym parametrem do umieszczenia w danych.

„Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  . Określona jest średnia  i odchylenie standardowe z próby  . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Podano współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

sportowcy pokonujący dystans 100 m

PRÓBA

30 wybranych sportowców

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  nie jest mniejsza od 30, ale równa 30 (  ), zatem wybieramy model II. W danych występuje  , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

grafika9

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 29 stopni swobody.

grafika11

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

Z kolei względna precyzja szacunku:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:  .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu 100 m mieści się w przedziale od 11,24 sekund do 12,76 sekund. Względny stopień precyzji szacunku wynosi 6,33%.

Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie  standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

W tym zadaniu nie ma słowa, które jednoznacznie wskazywałoby, że jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Co prawda występuje wyrażenie współczynnik ufności, ale to trochę za mało. Bardziej naprowadzają nas na właściwy trop słowa: oszacowania wartości oczekiwanej, ponieważ oznacza to, że wartość oczekiwaną oszacowano przedziałem ufności, którego nie określono. Bardzo rzadko stosuje się tzw. estymację punktową (czyli jedna konkretna liczba), ponieważ prawdopodobieństwo właściwego wyniku jest praktycznie równe zero. Poza tym interesuje nas względna precyzja oszacowania, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. W zadaniu nie interesuje nas przedział ufności, ale do podania wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. W związku z tym będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej, ale będziemy liczyć wyłącznie to co nas interesuje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie  standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. ”

W tym momencie dowiadujemy się, że badano 100 największych firm, a więc uznamy to za próbę, której liczebność to  firm. Określona jest średni roczny zysk czyli średnia  i odchylenie standardowe z próby  . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Podano współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

wszystkie polskie firmy

PRÓBA

100 wybranych firm

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który był szacowany przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Wyraz wartości oczekiwanej oznacza, że budowano przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika14

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  , a później  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika17

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: względny błąd szacunku wynosi 2,06%.

Jeżeli w przypadku tzw. dużej liczebnie próby losowej, poziom ufności wzrasta od 0,95 do 0,99, to która z par wyników względnej precyzji oceny wartości oczekiwanej jest jedynie możliwa?

a) 2,632% – 2% b) 2% – 2,632% c) 2,632% – 2,632% d) 2% – 2%

Zadanie dotyczy bardziej części teoretycznej estymacji przedziałowej. Przypominam, że pytanie odnośnie względnej precyzji oszacowania wiąże się z zagadnieniem estymacji. W tym konkretnym zadaniu ograniczymy się do wyboru wzoru, bo nawet etap wypisania danych nic nie da, ponieważ  nie ma innych informacji oprócz współczynników ufności.

Podane są współczynniki ufności:

 i po wzroście 

Wybierając wzór widzimy, że dokonano oceny względnej precyzji wartości oczekiwanej, a liczebność próby jest duża. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność jest duża (  ), zatem wybieramy model III.

grafika18

Określmy wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

Jak widać w danych nie mamy nic oprócz współczynników ufności, ale bardzo ważne jest, że po zwiększeniu poziomu ufności wartości średniej  , odchylenia standardowego  i liczebność próby  nie ulegają zmianie.

Uzupełnijmy wzór na  i  dla  (czyli  )

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika19

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

Względna precyzja szacunku: 

 i nic więcej nie można zrobić.

Podobnie postępujemy dla  (czyli  )

Ponownie należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika20

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

Względna precyzja szacunku: 

 i nic więcej nie można zrobić.

Porównajmy obydwa wyniki:

 i 

Zauważmy, że wielkości zaznaczone na czerwono w obu formułach są identyczne. Zmieniły się tylko współczynniki ufności, a tym samym wartości statystyk odczytanych z tablic. W związku z tym, że nie znamy danych zaznaczonych na czerwono możemy nieco krócej zapisać względne precyzje szacunku jako  i  . Łatwo je porównać. Jak widać po zwiększeniu współczynnika ufności procentowa wartość względnej precyzji szacunku ulega zmniejszaniu i to jest uniwersalna zasada. Nie otrzymaliśmy wyników podanych w odpowiedziach, ale to są tylko przykładowe liczby, można zastąpić je innymi. Wybieramy zatem odpowiedź B.

Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość  poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku  ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli  mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli  przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku  może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).

W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdania:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90. ”

Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  uczniów i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20.”

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. ”

W tym zdaniu nie ma żadnych wartości przydatnych na etapie wypisywania danych.

„Przyjąć współczynnik ufności 0,90. „

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

zbiorowość uczniów rozwiązujących zadanie matematyczne

PRÓBA

8 wybranych uczniów

 – dane indywidualne (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

  1. grafika12

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i  w dużej mierze nie powtarzają się – zatem średnią liczymy ze wzoru  . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – i jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a ten wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię wzorów rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne obserwacje oznaczone symbolem  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  .

Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi  , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest  ? To są konkretne wyniki z próby, a więc  . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie zrobić. Porządkowanie liczb nie wpływa na wynik, także może zostać tak jak jest. A więc  .

Obliczamy średnią:

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych indywidualnych wygląda tak:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru będzie analogiczne jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla  :

Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

Możemy już podstawiać liczby za  , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdego wartości  odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 7 stopni swobody.

grafika1

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: . 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów mieści się w przedziale od 13,63 minut do 21,63 minut.

W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”

Odnajdujemy w nich zwroty: wyznacz przedział ufności i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji. Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

pole magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym

PRÓBA

6 wybranych pomiarów pola magnetycznego

  – dane indywidualne (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.”

Wyraz średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

  1. grafika6

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się – zatem średnią liczymy ze wzoru . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – i jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a ten wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię wzorów rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne obserwacje oznaczone symbolem  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  .

Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi  , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest  ? To są konkretne wyniki z próby, a więc  . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie zrobić. Porządkowanie liczb nie wpływa na wynik, także może zostać tak jak jest. A więc  .

Obliczamy średnią:

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych indywidualnych wygląda tak:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru będzie analogiczne jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla  :

Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

Możemy już podstawiać liczby za  , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdego wartości odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 5 stopni swobody.

grafika7

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: . 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 wartość nieznanej średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie (czyli dla populacji)  mieści się się w przedziale od 0,192 Oe do 0,208 Oe.

Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej. Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4. Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . ”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbudować przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej.”

Co prawda nie określono precyzyjnie, czy mamy do czynienia z próbą, ale z późniejszej treści zadania wynika, że trzeba oszacować liczbę metrów kwadratowych tynku dla przeciętnego tynkarza. Badanych tynkarzy potraktujemy jako próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4.”

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . „

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

tynkarze

PRÓBA

20 wybranych tynkarzy

– dane indywidualne (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . ”

Wyrażenie wartości oczekiwanej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

  1. grafika15

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku) i możemy korzystać ze wzorów dotyczących danych indywidualnych (podobnie jak w zadaniach 32-37). Zastanówmy się jednak, czy w tym zadaniu będzie to wygodne. Danych jest dość dużo, bo aż  i w dużej mierze powtarzają się. W związku z tym łatwiej będzie je posegregować w szereg punktowy tzn. wykonać tabelę, w której podliczymy ilości poszczególnych obserwacji.

 – warianty obserwacji

 – liczebności poszczególnych obserwacji

 (suma)

W szeregu punktowym średnią liczymy ze wzoru  . Objaśnijmy go. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji, a  liczebności dla tych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie  będzie rosło od aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę klas (ilość wierszy w tabeli z danymi, ilość wariantów obserwacji). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to pokażmy dokładnie w tabeli:

Numer klasy

 – warianty obserwacji

 – liczebności poszczególnych obserwacji

 (suma)

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu punktowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość  mnożymy przez odpowiadającą mu wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy

 – warianty obserwacji

 – liczebności poszczególnych obserwacji

 (suma)

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu punktowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdej wariantu cechy  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Numer klasy

 – warianty obserwacji

 – liczebności poszczególnych obserwacji

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 19 stopni swobody.

grafika17

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:  .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 wartość oczekiwana liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza  mieści się w przedziale od 4,58 m2/h do 5,42  m2/h.

W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):

Powierzchnia mieszkalna

Liczba mieszkań

15 – 25

10

25 – 35

25

35 – 45

40

45 – 55

30

55 – 65

10

65 – 75

5

Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbuduj przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):”

Powierzchnia mieszkalna

Liczba mieszkań

15 – 25

10

25 – 35

25

35 – 45

40

45 – 55

30

55 – 65

10

65 – 75

5

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to  mieszkań i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Podano też współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

mieszkania wybudowane w 2001 w Gdańsku

PRÓBA

120 wybranych mieszkań

 dane tabelaryczne  – (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90. ”

Wyrażenie średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika2

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (powierzchnia mieszkalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

 – warianty obserwacji

(powierzchnia mieszkalna)

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

(liczba mieszkań)

 (suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością  , ponieważ nie zdarza się, aby  było zapisane w formie przedziałów. Symbol  to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację  , (kończymy przedział na 25, następny również zaczynamy od 25), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru  .

Na początku wyjaśnijmy symbol  . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły  . Upraszczając należy zsumować początek  i koniec  każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to środki kolejnych przedziałów, a  liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy

 – przedziały klasowe

(wiek pracowników)

 –

środki przedziałów

 -liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość  mnożymy przez odpowiadającą jej wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy

 –

środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Numer klasy

 –  środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

grafika3

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 nieznana średnia wartość powierzchni dla populacji mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku mieści się się w przedziale od 39,88 m2 do 43,52 m2.

Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia. Otrzymano następujące wyniki (w punktach):

Wyniki testu

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

Liczba osób

2

16

25

50

50

40

15

2

Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdania:

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99.”

Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia.”

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to  osób i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Otrzymano następujące wyniki (w punktach):”

Wyniki testu

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

Liczba osób

2

16

25

50

50

40

15

2

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów.”

Z punktu widzenia analizy danych nie mamy w tym zdaniu istotnych informacji.

„Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?”

Podano też współczynniki ufności  i  , od razu wyznaczamy odpowiednio  i  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

kandydaci na studia ekonomiczne

PRÓBA

200 wybranych osób

 dane tabelaryczne  – (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w końcówce zadania wyłapujemy słowo:

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. ”

Słowo średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika4

Ten sam wzór będzie użyty dla obydwu przyjętych współczynników ufności. Oprócz podania przedziałów ufności należy określić stopień precyzji oszacowania obu wyników. Najbardziej miarodajnym miernikiem jest względna precyzja szacunku  określona wzorem  , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej 

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wyniki testu) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

 – warianty obserwacji

(wyniki testu)

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

(liczba osób)

 (suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością  , ponieważ nie zdarza się, aby  było zapisane w formie przedziałów. Symbol  to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. Tabela z zadania niestety nie spełnia tego wymogu np.  , (przedział kończy się 9, następny zaczyna się od 10), itd. w związku z tym  musimy nieco przebudować przedziały aby zachować ciągłość. Liczebności poszczególnych przedziałów nie ulegają zmianie. Co prawda spotkałam się z obliczeniami bez zachowania ciągłości, niemniej jednak były to wyjątki. Jeśli nie jesteśmy pewni jak mamy postępować w takim przypadku, po prostu spytajmy prowadzącego zajęcia.  Z reguły zmianie ulegają końcówki przedziałów, a początki pozostają bez zmian. Zaczynamy od 5 i zamiast 9 przedział zakończymy na 10, ponieważ kolejny zaczyna się właśnie od 10 itd. Sama dziesiątka i tak nie wchodzi do pierwszego przedziału, ponieważ jest on prawostronnie otwarty. Tabela z przebudowanymi przedziałami wygląda następująco:

 – warianty obserwacji

(wyniki testu)

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

(liczba osób)

 (suma)

Przechodzimy do liczenia brakującej średniej i odchylenia standardowego.

 W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru  .

Na początku wyjaśnijmy symbol  . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły  . Upraszczając należy zsumować początek  i koniec  każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to środki kolejnych przedziałów, a  liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy

 – przedziały klasowe

(wiek pracowników)

 –

środki przedziałów

 -liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy

 –

środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Numer klasy

 –  środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  . Na początku przyjmiemy współczynnik ufności  (  ), a następnie  (  ).

Dla  otrzymujemy:

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

grafika5

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Z kolei dla  otrzymujemy:

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

grafika6

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Analogicznie określimy względną precyzję szacunku  , gdzie  .

Względna precyzja szacunku dla  :

 , tak więc  .

Względna precyzja szacunku dla  :

 , tak więc  .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy dla  : 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,51 punktów do 26,49 punktów.

Ostatecznie otrzymujemy dla  : 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,2 punktów do 26,8 punktów.

Po zmianie współczynnika ufności z 0,95 do 0,99 względna precyzja oszacowania zmalała z poziomu 3,88% do 5,1%. Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież po zwiększeniu współczynnika ufności otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość  poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku  ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli  mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli  przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku  może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych). Tak więc oszacowanie przy współczynniku ufności 0,95 jest bardziej precyzyjne.

Spośród ogrodników pewnego regionu wylosowano 180 osób i zapytano o uprawę chryzantem. Okazało się, że 120 z nich zajmuje się uprawą tych kwiatów. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,94, zbudować przedział ufności dla frakcji ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy, wykorzystując wyniki próby.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,94, zbudować przedział ufności dla frakcji ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy, wykorzystując wyniki próby.
Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności oraz współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Spośród ogrodników pewnego regionu wylosowano 180 osób i zapytano o uprawę chryzantem.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości ogrodników spośród całej populacji ogrodników pewnego regionu. Oznaczamy więc liczebność próby  .
Okazało się, że 120 z nich zajmuje się uprawą tych kwiatów.
W tym momencie uzyskujemy informację, że 120 ogrodników spośród 180 uprawia chryzantemy – jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem  .
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,94, zbudować przedział ufności dla frakcji ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy, wykorzystując wyniki próby.
Podano współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
wszyscy ogrodnicy pewnego regionu
PRÓBA
180 wybranych ogrodników
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przyjmując współczynnik ufności równy 0,94, zbudować przedział ufności dla frakcji ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy, wykorzystując wyniki próby.
Wyraz frakcji oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyoo6.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: 
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,94 nieznana frakcja ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy mieści się w przedziale od 0,689 do 0,811.

W grupie losowo wybranych 300 osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60 zgonów. Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie. Zinterpretować otrzymany przedział.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdania:
Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie.Zinterpretować otrzymany przedział.
Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności i poziom ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W grupie losowo wybranych 300 osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60 zgonów.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich chorych. Oznaczamy więc liczebność próby  . Ponadto uzyskujemy informację, że 60 chorych spośród 300 zmarło – jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem .
Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie.Zinterpretować otrzymany przedział.
Podano również poziom ufności  , od razu wyznaczamy  .
Zinterpretować otrzymany przedział.
W tym zdaniu nie ma danych liczbowych więc je pomijamy.
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
osoby cierpiące na pewną chorobę
PRÓBA
300 wybranych osób
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie.Zinterpretować otrzymany przedział.
Słowo współczynnik oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyoo5.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: 
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 współczynnik śmiertelności w pewnej chorobie dla całej populacji mieści się w przedziale od 0,155 do 0,245.

Spośród mieszkańców pewnego miasta wylosowano niezależną próbę złożoną z 4000 osób i zbadano wśród nich liczbę osób, które nie tylko mieszkają w tym mieście, ale również się w nim urodziły. Na podstawie próby stwierdzono, że takich osób było 520. Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla wskaźnika struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla wskaźnika struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych.
Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Spośród mieszkańców pewnego miasta wylosowano niezależną próbę złożoną z 4000 osób i zbadano wśród nich liczbę osób, które nie tylko mieszkają w tym mieście, ale również się w nim urodziły.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób do próby spośród mieszkańców pewnego miasta. Oznaczamy więc liczebność próby  .
Na podstawie próby stwierdzono, że takich osób było 520.
Tu uzyskujemy informację, że 520 mieszkańców spośród 4000 mieszka w tym mieście i jednocześnie się w nim urodziły – jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem  .
Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla wskaźnika struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych.
Podano również współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
mieszkańcy pewnego miasta
PRÓBA
4000 wybranych mieszkańców
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla wskaźnika struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych.
Oczywiście będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyoo5.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: 
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 wskaźnik struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych mieści się w przedziale od 0,12 do 0,14.

W wyniku kontroli jakości losowo wybranych urządzeń elektrotechnicznych produkowanych przez jeden z zakładów tej branży stwierdzono, że 6 urządzeń miało usterki techniczne. Przedziałowe oszacowanie odsetka urządzeń wadliwych w całej wyprodukowanej partii urządzeń, przy współczynniku ufności równym 0,9545, dało wynik: (0,3%; 2,7%). Ile sztuk wyrobów pobrano do próby w celu oszacowania odsetka ogółu urządzeń wadliwych?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
Przedziałowe oszacowanie odsetka urządzeń wadliwych w całej wyprodukowanej partii urządzeń, przy współczynniku ufności równym 0,9545, dało wynik: (0,3%; 2,7%).
Występuje tu zwroty: przedziałowe oszacowanie oraz współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Określono również sam przedział.
Podano końcówki przedziału ufności (0,3%; 2,7%), a niewiadomą stanowi liczebność próby z reguły występująca w danych, wobec tego określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W wyniku kontroli jakości losowo wybranych urządzeń elektrotechnicznych produkowanych przez jeden z zakładów tej branży stwierdzono, że 6 urządzeń miało usterki techniczne.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat kontroli losowo wybranych urządzeń spośród wszystkich maszyn z jednego zakładu. Samej liczebności próby nie podano, ale uzyskujemy informację, że 6 urządzeń spośród badanych ma problemy techniczne – jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem  .
Przedziałowe oszacowanie odsetka urządzeń wadliwych w całej wyprodukowanej partii urządzeń, przy współczynniku ufności równym 0,9545, dało wynik: (0,3%; 2,7%).
Poznajemy wartość współczynnika ufności  , od razu wyznaczamy  . Podano również przedział ufności. Wiemy, że odsetek urządzeń wadliwych mieści się w przedziale od 0,3% do 2,7%. Od razu przeliczmy końcówki przedziału ufności z procentów na ułamki (dzielimy przez 100), a więc .
Ile sztuk wyrobów pobrano do próby w celu oszacowania odsetka ogółu urządzeń wadliwych?
Naszą niewiadomą jest liczebność próby, a więc  .
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
urządzenia elektrotechniczne produkowane przez dany zakład
PRÓBA
 wybranych urządzeń
 – końcówki przedziału ufności dla odsetka z populacji
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
Przedziałowe oszacowanie odsetka urządzeń wadliwych w całej wyprodukowanej partii urządzeń, przy współczynniku ufności równym 0,9545, dało wynik: (0,3%; 2,7%).
Słowo odsetek oznacza, że przedział ufności zbudowano dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Niestety, z reguły rzadko dysponujemy aż tak dokładnymi tablicami rozkładu normalnego, więc przyjmiemy najbliższą wartość  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyoo5.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)
Jak widać, nie możemy uzupełnić liczebności próby oznaczonej jako  i tym samym doprowadzić obliczeń do końca. Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.
Nie znamy wartości  , więc potraktujmy ją jak niewiadomą i rozwiążemy równanie aby ją wyznaczyć. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 0,003 czy 0,027? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. A więc na przykład:
Powyższe równanie zawiera tylko jedną niewiadomą, ale z matematycznego punktu widzenia nie należy do najprzyjemniej rozwiązujących się równań (pierwiastek praktycznie zawsze komplikuje sprawę). Oczywiście można się pomęczyć lub wpisać je do dowolnego programu komputerowego rozwiązującego właściwie każde równanie, ale w tym przypadku istnieje możliwość obejścia problemu, ponieważ dysponujemy (jak już wcześniej wspomniałam) drugą końcówką przedziału ufności, a więc:
Na pierwszy rzut oka te drugie równanie nie zmienia naszej sytuacji, bo jest prawie identyczne mając na uwadze sposób rozwiązywania, ale łącząc te dwa równania i dodając je stronami otrzymujemy zapis:
 +
Teraz dokładniej przyjrzyjmy się się powstałemu równaniu. Wydaje się bardziej skomplikowane niż dwa poprzednie, ale brzydkie wyrażenie z pierwiastkiem elegancko się skraca:
Otrzymujemy banalne równanie:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy liczebność próby  .
Interpretacja przedziału ufności nie jest potrzebna, ponieważ pytano nas o liczebność próby.

Wylosowano 1000 osób pochodzących z pewnego amerykańskiego miasteczka i spytano ich o posiadanie broni. 400 osób przyznało, że posiada broń w domu. Co można powiedzieć o odsetku osób posiadających broń? Współczynnik ufności wynosi 0,98. Podaj względną precyzję szacunku.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
W tym zadaniu nie ma słowa, które jednoznacznie wskazywałoby, że jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.
Co można sądzić o odsetku osób posiadających broń? Współczynnik ufności wynosi 0,98.
Co prawda występuje wyrażenie współczynnik ufności, ale to trochę za mało. Bardziej naprowadzają nas na właściwy trop słowa: co można sądzić o odsetku, ponieważ oznacza to, że odsetek należy oszacować przedziałem ufności. Bardzo rzadko stosuje się tzw. estymację punktową (czyli jedna konkretna liczba), ponieważ prawdopodobieństwo właściwego wyniku jest praktycznie równe zero. Poza tym interesuje nas poziom względnej precyzji szacunku, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. W zadaniu interesuje nas przedział ufności, a do podania wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. Będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej i dodatkowo policzymy względną precyzję szacunku.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
Wylosowano 1000 osób pochodzących z pewnego amerykańskiego miasteczka i spytano ich o posiadanie broni.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wybrania do próby konkretnej ilości osób spośród wszystkich mieszkańców pewnego amerykańskiego miasteczka. Oznaczamy więc liczebność próby .
400 osób przyznało, że posiada broń w domu.
Uzyskujemy informację, że 400 mieszkańców spośród 1000 posiada broń – jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem  .
Co można sądzić o odsetku osób posiadających broń?
W tym zdaniu nie ma danych liczbowych, więc je pomijamy.
Współczynnik ufności wynosi 0,98.
Podano również współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .
Podaj względną precyzję szacunku.
Tu też nie ma danych liczbowych.
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
mieszkańcy pewnego amerykańskiego miasteczka
PRÓBA
1000 wybranych mieszkańców
 
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:
Co można sądzić o odsetku mieszkańców wyposażonych w telefon?
Słowo odsetek oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wskaźnika struktury  .
 lub  , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną wskaźnika struktury z próby  :
czyli  .
Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do wskaźnika struktury z próby.
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyoo2.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):
Z kolei względna precyzja szacunku:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: 
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 odsetek ogółu mieszkańców miasta posiadających broń mieści się w przedziale od 0,364 do 0,436. Względna precyzja szacunku wynosząca 9% mieści się od 5% do 10%, a więc wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością.

W losowo wybranej próbie 100 studentów SGH 40 osób mieszkało na stałe w Warszawie. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90:
a) oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów,
b) określić, o ile osób należy zwiększyć powyższą próbę, aby dwukrotnie wzrosła precyzja oszacowania.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
a) oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów,
Występuje tu zwrot: oszacować przedziałowo – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. W poprzednim zdaniu Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90. dodatkowo znajdujemy wyrażenie współczynnik ufności.
W drugiej części zadania interesuje nas precyzja oszacowania, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. Do stworzenia wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. Będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej i dodatkowo policzymy względną precyzję szacunku. Później zwiększymy dwukrotnie precyzję szacunku i ustalimy o ile należy zwiększyć próbę.
AD. a)
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.
Analizujemy zdanie po zdaniu.
W losowo wybranej próbie 100 studentów SGH 40 osób mieszkało na stałe w Warszawie.
Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wybrania do próby konkretnej ilości osób spośród wszystkich studentów SGH. Oznaczamy więc liczebność próby  . Uzyskujemy również informację, że 40 studentów spośród 100 mieszka na stale w Warszawie – i byłaby to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby, ale w zdaniu oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów widać, że interesują nas osoby spoza Warszawy. Zatem poza stolicą mieszka  osób. Ilość obserwacji spośród próby wynosi zatem  .
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90:
Podano również współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
POPULACJA
studenci SGH
PRÓBA
100 wybranych studentów
 
 – współczynnik ufności, 
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:
a) oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów,
Słowo udział oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby  .
image: 0F__strona_nowa_estymacjawskaznik_frakcja_mn.png
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i   czyli  .
image: 1F__strona_nowa_estymacjawskaznik_normalnyo1.png
Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):
AD. b)
Na początku obliczymy względną precyzję oszacowania  . A więc:  lub  , gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną wskaźnika struktury z próby  :
czyli  .
Formuła na obliczenie  zawsze zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do wskaźnika struktury z próby.
Po wstawieniu danych otrzymujemy:
Teraz zgodnie z treścią zadania dwukrotnie zwiększamy precyzję szacunku: 
Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież otrzymaliśmy mniejszą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zmniejszeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Tak więc zwiększenie precyzji oszacowania w ujęciu matematycznym polega na zmniejszeniu wartości liczbowej.
Na koniec określimy o ile należy zwiększyć próbę aby precyzja oszacowania wyniosła 6,67%, ponownie skorzystamy ze wzoru na względną precyzję szacunku, ale wprowadzimy zmienną  , która będzie oznaczać ilość osób, którą należy dodać do próby. Inne wartości nie ulegają zmianie. Ważne jest założenie niezmienności struktury próby – oznacza to wskaźnik struktury w próbie  ma pozostać bez zmian, a więc :
 , a potem 
Powstało niezbyt przyjemne równanie i aby je rozwiązać będziemy powoli okrajać ułamek, w którym znajduje się niewiadoma  :
Aby pozbyć się pierwiastka podniesiemy równanie stronami do kwadratu:
Powstało równanie wymierne, stosujemy dla wygody zapis  i rozwiązujemy równanie metodą na krzyż:
Jak widać podczas procesu rozwiązywania w kolejnych przekształceniach powstawały liczby z dużą ilością miejsc po przecinku. Dla wygody pośrednie wyniki były zaokrąglane. Oczywiście to nie jest jedyny sposób na rozwiązanie tego równania.
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Z podpunktu a) ostatecznie otrzymujemy: 
Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów mieści się w przedziale od 0,52 do 0,68.
Z podpunktu a) ostatecznie otrzymujemy: Aby dwukrotnie wzrosła precyzja oszacowania należy dolosować do próby około 300 osób.

W pewnym warsztacie wybrano 25 pracowników w celu ustalenia średniego czasu poświęcanego na zmontowanie jednego przyrządu. Średnia czasu montażu była równa 25 minut, a odchylenie standardowe 4 minuty. Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95% .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować wariancję czasu montażu, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: poziom ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym warsztacie wybrano 25 pracowników w celu ustalenia średniego czasu poświęcanego na zmontowanie jednego przyrządu.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich pracowników warsztatu. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 0 .

Średnia czasu montażu była równa 25 minut, a odchylenie standardowe 4 minuty.

W poprzednim zdaniu zaczął się opis próby, więc dla wymienionych parametrów zastosujemy oznaczenia z próby. Średnia czasu montażu wynosi 25 minut, a więc Estymacja wariancji - obraz numer 1 , a odchylenie standardowe 4 minuty, czyli Estymacja wariancji - obraz numer 2 .

Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.

Podano współczynnik ufności Estymacja wariancji - obraz numer 3 . Zamieniamy go na ułamek Estymacja wariancji - obraz numer 4 i od razu wyznaczamyEstymacja wariancji - obraz numer 5 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA pracownicy warsztatu
PRÓBA 25 wybranych pracowników
Estymacja wariancji - obraz numer 6

Estymacja wariancji - obraz numer 7 – współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 8

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95%.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 9 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 10 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 11 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 12 jest mniejsza od 30Estymacja wariancji - obraz numer 13 , zatem wybieramy model I . W danych występuje Estymacja wariancji - obraz numer 14 , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 15

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 16 konkretnymi danymi.

Estymacja wariancji - obraz numer 17

Estymacja wariancji - obraz numer 18

Estymacja wariancji - obraz numer 19

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 20 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 21 orazEstymacja wariancji - obraz numer 22 . Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 23 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 24 i 24 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 25

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 26 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 27 i 24 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 28

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 29 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 30 :

Estymacja wariancji - obraz numer 31

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 32

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja czasu montażu dla ogółu pracowników warsztatu mieści się w przedziale od 10,16 do 32,26 minut .

Powstała dziwna jednostka – minuty , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.

Czas toczenia detalu ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 2431 . Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufnościEstymacja wariancji - obraz numer 2432 , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ].

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 2433 , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ].

Występują tu zwroty: oszacować metodą przedziałową poziom ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Czas toczenia detalu ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 2434 .

Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 2435 oznacza założenie normalności rozkładu czasu toczenia detali i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Mamy częściową informację na temat tego rozkładu, zatem możemy zapisać: Estymacja wariancji - obraz numer 2436 – rozkład normalny o znanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 2437 min. i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 2438 .

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 2439 , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ].

Podano poziom ufności Estymacja wariancji - obraz numer 2440 . Od razu wyznaczamy Estymacja wariancji - obraz numer 2441 . W tym zdaniu zaczyna się również opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich detali. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 2442 . Znana jest także wariancja dla próby, czyli Estymacja wariancji - obraz numer 2443 (oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby). Dysponując wartością wariancji można od razu wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji: Estymacja wariancji - obraz numer 2444 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie detale
PRÓBA 16 wybranych detali
Estymacja wariancji - obraz numer 2445 – rozkład normalny o znanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 2446i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 2447
Estymacja wariancji - obraz numer 2448

Estymacja wariancji - obraz numer 2449 – współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 2450

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 2451 , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ].

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 2452 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 2453 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 2454 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 2455 jest mniejsza od 30Estymacja wariancji - obraz numer 2456 , zatem wybieramy model I . W danych występuje Estymacja wariancji - obraz numer 2457 , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 2458

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 2459 konkretnymi danymi.

Estymacja wariancji - obraz numer 2460

Estymacja wariancji - obraz numer 2461

Estymacja wariancji - obraz numer 2462

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 2463 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 2464 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 2465 . Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 2466 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 2467 i 15 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 2468

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 2469 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 2470 i 15 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 2471

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 2472 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 2473 :

Estymacja wariancji - obraz numer 2474

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 2475

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja czasu toczenia detali mieści się w przedziale od 3,20 do 11,02 [min ].

Powstała dziwna jednostka – min , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.

W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg. Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:(0,0115 ; 0,0724)  . Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?

a) 0,99 b) 0,98 c) 0,96 d) 0,95 e) żadna odpowiedź nie jest poprawna

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:Estymacja wariancji - obraz numer 104 .

Występuje tu zwrot: oszacowano przedział ufności i został on już konkretnie określony – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Dodatkowo w ostatnim zdaniu użyto wyrażeniawspółczynnik ufności .

Podano końcówki przedziału ufności Estymacja wariancji - obraz numer 105 , a szukana jest wartość współczynnika ufności z reguły występująca w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich konserw. Zapisujemy więc liczebność próby jako Estymacja wariancji - obraz numer 106 . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią Estymacja wariancji - obraz numer 107 i odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 108 . Oczywiście użyto oznaczeń dla próby.

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:Estymacja wariancji - obraz numer 109 .

Znamy również końcówki przedziału ufności dla wariancji.

Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?

Niewiadomą jest współczynnik ufności, a więc Estymacja wariancji - obraz numer 110 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie konserwy
PRÓBA 15 wybranych konserw
Estymacja wariancji - obraz numer 111

Estymacja wariancji - obraz numer 112 – współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 113

Estymacja wariancji - obraz numer 114 – końcówki przedziału ufności

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który był oszacowany przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:Estymacja wariancji - obraz numer 115 .

Słowo wariancja oznacza, że przedział ufności został zbudowany oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 116 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 117 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 118 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 119 jest mniejsza od 30Estymacja wariancji - obraz numer 120 , zatem wybieramy model I . W danych występuje Estymacja wariancji - obraz numer 121 , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 122

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 123 konkretnymi danymi.

Estymacja wariancji - obraz numer 124

Estymacja wariancji - obraz numer 125

Estymacja wariancji - obraz numer 126

Na tym etapie na razie poprzestajemy, ponieważ nie jesteśmy w stanie uzupełnić współczynnika ufności Estymacja wariancji - obraz numer 127 , a tym samym nieznana jest Estymacja wariancji - obraz numer 128 , więc nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu chi-kwadrat, bo w formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 129 (grecka litera czyt. chi ). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Estymacja wariancji - obraz numer 130

Nie znamy wartości Estymacja wariancji - obraz numer 131 ani Estymacja wariancji - obraz numer 132 , więc możemy odnieść wrażenie, że mamy dwie nieznane wielkości. Jednak nie jest tak do końca, ponieważ obie z nich zależą od tej samej wartości Estymacja wariancji - obraz numer 133 , wobec tego na dobrą sprawę mamy do czynienia z jedną niewiadomą. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 0,0115 czy 0,0724? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach Estymacja wariancji - obraz numer 134 jest przecież tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. Wybierzemy zapis Estymacja wariancji - obraz numer 135 , ponieważ wydaje się mniej skomplikowany, oczywiście można użyć Estymacja wariancji - obraz numer 136 i ostateczny wynik nie ulegnie zmianie.

Estymacja wariancji - obraz numer 137

Sposób rozwiązania powstałego równania zależy wyłącznie od Was, jeśli oznaczenie Estymacja wariancji - obraz numer 138 wydaje się przerażające można je tymczasowo zastąpić chociażby Estymacja wariancji - obraz numer 139 .

Estymacja wariancji - obraz numer 140

I już od razu lepiej to wygląda, prawda?

Wymnażamy przez Estymacja wariancji - obraz numer 141 aby pozbyć się kreski ułamkowej:

Estymacja wariancji - obraz numer 142

Estymacja wariancji - obraz numer 143

Dzielimy przez 0,0115 w celu otrzymania Estymacja wariancji - obraz numer 144 :

Estymacja wariancji - obraz numer 145

Estymacja wariancji - obraz numer 146 (wynik został zaokrąglony do trzech miejsc po przecinku)

Ostatecznie Estymacja wariancji - obraz numer 147

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej Estymacja wariancji - obraz numer 148 , ale w środku tablicy rozkładu chi – kwadrat, przy czym zapis Estymacja wariancji - obraz numer 149wskazuje nam, że bierzemy pod uwagę tylko wiersz z 14 stopniami swobody.

Estymacja wariancji - obraz numer 150

Najbliższą wartością statystki 29,348 znalezioną w tablicy na poziomie 14 stopni swobody jest 29,141. Odpowiada ona dla prawdopodobieństwa równego 0,01. Specjalnie nie używam symbolu Estymacja wariancji - obraz numer 151 , ponieważ na tym etapie pojawia się najwięcej błędów. Dlaczego? W zapisie Estymacja wariancji - obraz numer 152 Estymacja wariancji - obraz numer 153 dopiero po podzieleniu przez 2 jest odczytywana z tablic, czyliEstymacja wariancji - obraz numer 154 . Zatem ostatecznie Estymacja wariancji - obraz numer 155 – i to ta wartość ląduje we współczynniku ufności.

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności Estymacja wariancji - obraz numer 156 , a więc prawidłowa jest odpowiedź B.

Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,98 nieznana wariancja wagi ogółu konserw mieści się w przedziale od 0,0115 do 0,0724 kg .

Powstała dziwna jednostka – (kg) , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.

Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty. Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173. Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 428 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 429 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: zbudować przedział ufności współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty.

Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja wariancji - obraz numer 430 osób i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173.

Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 431 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 432 i odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 433 (lub Estymacja wariancji - obraz numer 434 , Estymacja wariancji - obraz numer 435 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 436 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości wpłacanych kwot i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko przepisać Estymacja wariancji - obraz numer 437 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 438 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 439 . Podano też współczynnik ufnościEstymacja wariancji - obraz numer 440 . Od razu wyznaczamy Estymacja wariancji - obraz numer 441 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA 
osoby dokonujące opłat na poczcie z tytułu usług telekomunikacyjnych
PRÓBA 
10 wybranych osób
Estymacja wariancji - obraz numer 442 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 443 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 444
Estymacja wariancji - obraz numer 445Estymacja wariancji - obraz numer 446 – dane indywidualne (można obliczyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 447 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 448 , odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 449 )

Estymacja wariancji - obraz numer 450 – współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 451

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwot jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 452 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 453 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 454 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 455 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 456 jest mniejsza od 30Estymacja wariancji - obraz numer 457 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja wariancji - obraz numer 458 ani Estymacja wariancji - obraz numer 459 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 460

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 461 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja wariancji - obraz numer 462 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się, zatem wariację liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: Estymacja wariancji - obraz numer 463 lub Estymacja wariancji - obraz numer 464 Estymacja wariancji - obraz numer 465(obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Teraz okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia Estymacja wariancji - obraz numer 466 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: Estymacja wariancji - obraz numer 467 Estymacja wariancji - obraz numer 468 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak Estymacja wariancji - obraz numer 469 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis Estymacja wariancji - obraz numer 470 , a nad nim Estymacja wariancji - obraz numer 471 , Estymacja wariancji - obraz numer 472 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 473 , gdzie Estymacja wariancji - obraz numer 474 będzie rosło od Estymacja wariancji - obraz numer 475 aż do wartości Estymacja wariancji - obraz numer 476 , a więc Estymacja wariancji - obraz numer 477 :

Estymacja wariancji - obraz numer 478

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Estymacja wariancji - obraz numer 479 Estymacja wariancji - obraz numer 480

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi Estymacja wariancji - obraz numer 481 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Estymacja wariancji - obraz numer 482 Estymacja wariancji - obraz numer 483

Czym jest Estymacja wariancji - obraz numer 484 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więcEstymacja wariancji - obraz numer 485 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. Estymacja wariancji - obraz numer 486 .

Obliczamy średnią:

Estymacja wariancji - obraz numer 487 Estymacja wariancji - obraz numer 488

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 489 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 490

i dla Estymacja wariancji - obraz numer 491 :

Estymacja wariancji - obraz numer 492

Możemy już podstawiać liczby za Estymacja wariancji - obraz numer 493 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartościEstymacja wariancji - obraz numer 494 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 495 i Estymacja wariancji - obraz numer 496 daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Estymacja wariancji - obraz numer 497
Estymacja wariancji - obraz numer 498
Estymacja wariancji - obraz numer 499
Estymacja wariancji - obraz numer 500
Estymacja wariancji - obraz numer 501
Estymacja wariancji - obraz numer 502
Estymacja wariancji - obraz numer 503
Estymacja wariancji - obraz numer 504
Estymacja wariancji - obraz numer 505
Estymacja wariancji - obraz numer 506
Estymacja wariancji - obraz numer 507
Estymacja wariancji - obraz numer 508
Estymacja wariancji - obraz numer 509
Estymacja wariancji - obraz numer 510
Estymacja wariancji - obraz numer 511
Estymacja wariancji - obraz numer 512
Estymacja wariancji - obraz numer 513
Estymacja wariancji - obraz numer 514
Estymacja wariancji - obraz numer 515
Estymacja wariancji - obraz numer 516
Estymacja wariancji - obraz numer 517
Estymacja wariancji - obraz numer 518
Estymacja wariancji - obraz numer 519
Estymacja wariancji - obraz numer 520
Estymacja wariancji - obraz numer 521
Estymacja wariancji - obraz numer 522
Estymacja wariancji - obraz numer 523
Estymacja wariancji - obraz numer 524
Estymacja wariancji - obraz numer 525
Estymacja wariancji - obraz numer 526
Estymacja wariancji - obraz numer 527
Estymacja wariancji - obraz numer 528
Estymacja wariancji - obraz numer 529
Estymacja wariancji - obraz numer 530 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 531

A więc Estymacja wariancji - obraz numer 532

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 533 :

Estymacja wariancji - obraz numer 534

Estymacja wariancji - obraz numer 535

Estymacja wariancji - obraz numer 536

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 537 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 538 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 539. Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 540 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 541 i 9 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 542

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 543 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 544 i 9 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 545

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 546 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 547 :

Estymacja wariancji - obraz numer 548

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 549

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja wpłat w populacji mieści się w przedziale od 117,12 do 825,19 (zł) .

Powstała dziwna jednostka – (zł) , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.

Dokonano badań drogowych 30 samochodów FSO 1500 pod względem osiąganej prędkości maksymalnej. Wyniki były następujące:

Prędkość maksymalna (km/godz.)
130 – 140
140 – 150
150 – 160
160 – 170
Liczba samochodów
3
8
14
5

Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: oszacować metodą przedziałową poziom ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Dokonano badań drogowych 30 samochodów FSO 1500 pod względem osiąganej prędkości maksymalnej.

Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, ponieważ badamy określoną ilość samochodów. Liczebność próby to Estymacja wariancji - obraz numer 1414 i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Wyniki były następujące:

Prędkość maksymalna (km/godz.)
130 – 140
140 – 150
150 – 160
160 – 170
Liczba samochodów
3
8
14
5

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1415 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 1416 i odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 1417 (lub Estymacja wariancji - obraz numer 1418 , Estymacja wariancji - obraz numer 1419 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).

Podano też współczynnik ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1420 . Od razu wyznaczamy Estymacja wariancji - obraz numer 1421 . W tym zdaniu występuje również założenie normalności rozkładu prędkości maksymalnej i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja wariancji - obraz numer 1422 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 1423 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 1424 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA samochody FSO 1500
PRÓBA 30 wybranych samochodów
Estymacja wariancji - obraz numer 1425 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 1426 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 1427
Estymacja wariancji - obraz numer 1428 – dane tabelaryczne (można obliczyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1429 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 1430 , odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 1431 )

Estymacja wariancji - obraz numer 1432 – współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 1433

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 1434 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 1435 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 1436 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 1437 może nie jest mniejsza od 30, ale dokładnie równa 30 Estymacja wariancji - obraz numer 1438 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja wariancji - obraz numer 1439 ani Estymacja wariancji - obraz numer 1440 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 1441

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 1442 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja wariancji - obraz numer 1443 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (prędkość maksymalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

Estymacja wariancji - obraz numer 1444 – warianty obserwacji (prędkość maksymalna)
Estymacja wariancji - obraz numer 1445 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba aut)
Estymacja wariancji - obraz numer 1446
Estymacja wariancji - obraz numer 1447
Estymacja wariancji - obraz numer 1448
Estymacja wariancji - obraz numer 1449
Estymacja wariancji - obraz numer 1450
Estymacja wariancji - obraz numer 1451
Estymacja wariancji - obraz numer 1452
Estymacja wariancji - obraz numer 1453
Estymacja wariancji - obraz numer 1454 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 1455

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością Estymacja wariancji - obraz numer 1456 , ponieważ nie zdarza się, aby Estymacja wariancji - obraz numer 1457 było zapisane w formie przedziałów. Symbol Estymacja wariancji - obraz numer 1458 to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację Estymacja wariancji - obraz numer 1459 , Estymacja wariancji - obraz numer 1460(kończymy przedział na 140, następny również zaczynamy od 140), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: Estymacja wariancji - obraz numer 1461 . Jest też alternatywa Estymacja wariancji - obraz numer 1462 Estymacja wariancji - obraz numer 1463 , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru Estymacja wariancji - obraz numer 1464 Estymacja wariancji - obraz numer 1465 . Na początku wyjaśnijmy symbol Estymacja wariancji - obraz numer 1466 . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły Estymacja wariancji - obraz numer 1467 . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak Estymacja wariancji - obraz numer 1468 oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1469 , a nad nim Estymacja wariancji - obraz numer 1470 , Estymacja wariancji - obraz numer 1471 to środki kolejnych przedziałów , a Estymacja wariancji - obraz numer 1472 liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny Estymacja wariancji - obraz numer 1473 , gdzie Estymacja wariancji - obraz numer 1474 będzie rosło od Estymacja wariancji - obraz numer 1475 aż do wartości Estymacja wariancji - obraz numer 1476 , czyli Estymacja wariancji - obraz numer 1477 , a więc ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 1478

W naszym przypadku Estymacja wariancji - obraz numer 1479 znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Estymacja wariancji - obraz numer 1480 Estymacja wariancji - obraz numer 1481 = Estymacja wariancji - obraz numer 1482

Czym jest Estymacja wariancji - obraz numer 1483 , Estymacja wariancji - obraz numer 1484 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1485 ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1486 – warianty obserwacji (prędkość maksymalna)
Estymacja wariancji - obraz numer 1487 – środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1488 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba aut)
Estymacja wariancji - obraz numer 1489
Estymacja wariancji - obraz numer 1490
Estymacja wariancji - obraz numer 1491
Estymacja wariancji - obraz numer 1492
Estymacja wariancji - obraz numer 1493
Estymacja wariancji - obraz numer 1494
Estymacja wariancji - obraz numer 1495
Estymacja wariancji - obraz numer 1496
Estymacja wariancji - obraz numer 1497
Estymacja wariancji - obraz numer 1498
Estymacja wariancji - obraz numer 1499
Estymacja wariancji - obraz numer 1500
Estymacja wariancji - obraz numer 1501
Estymacja wariancji - obraz numer 1502
Estymacja wariancji - obraz numer 1503
Estymacja wariancji - obraz numer 1504
Estymacja wariancji - obraz numer 1505
Estymacja wariancji - obraz numer 1506 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 1507

Uzupełniając wzór średniej dla Estymacja wariancji - obraz numer 1508 otrzymujemy:

Estymacja wariancji - obraz numer 1509 Estymacja wariancji - obraz numer 1510 = Estymacja wariancji - obraz numer 1511 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość Estymacja wariancji - obraz numer 1512 mnożymy przez odpowiadającą jej wartość Estymacja wariancji - obraz numer 1513 , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 1514 i kolumny Estymacja wariancji - obraz numer 1515 daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1516 – środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1517 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja wariancji - obraz numer 1518
Estymacja wariancji - obraz numer 1519
Estymacja wariancji - obraz numer 1520
Estymacja wariancji - obraz numer 1521
Estymacja wariancji - obraz numer 1522
Estymacja wariancji - obraz numer 1523
Estymacja wariancji - obraz numer 1524
Estymacja wariancji - obraz numer 1525
Estymacja wariancji - obraz numer 1526
Estymacja wariancji - obraz numer 1527
Estymacja wariancji - obraz numer 1528
Estymacja wariancji - obraz numer 1529
Estymacja wariancji - obraz numer 1530
Estymacja wariancji - obraz numer 1531
Estymacja wariancji - obraz numer 1532
Estymacja wariancji - obraz numer 1533
Estymacja wariancji - obraz numer 1534
Estymacja wariancji - obraz numer 1535
Estymacja wariancji - obraz numer 1536
Estymacja wariancji - obraz numer 1537

Estymacja wariancji - obraz numer 1538

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 1539

i dla Estymacja wariancji - obraz numer 1540 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1541

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału Estymacja wariancji - obraz numer 1542 odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1543, druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości Estymacja wariancji - obraz numer 1544 i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 1545 iEstymacja wariancji - obraz numer 1546 daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1547 – środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1548 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja wariancji - obraz numer 1549
Estymacja wariancji - obraz numer 1550
Estymacja wariancji - obraz numer 1551
Estymacja wariancji - obraz numer 1552
Estymacja wariancji - obraz numer 1553
Estymacja wariancji - obraz numer 1554
Estymacja wariancji - obraz numer 1555
Estymacja wariancji - obraz numer 1556
Estymacja wariancji - obraz numer 1557
Estymacja wariancji - obraz numer 1558
Estymacja wariancji - obraz numer 1559
Estymacja wariancji - obraz numer 1560
Estymacja wariancji - obraz numer 1561
Estymacja wariancji - obraz numer 1562
Estymacja wariancji - obraz numer 1563
Estymacja wariancji - obraz numer 1564
Estymacja wariancji - obraz numer 1565
Estymacja wariancji - obraz numer 1566
Estymacja wariancji - obraz numer 1567
Estymacja wariancji - obraz numer 1568
Estymacja wariancji - obraz numer 1569
Estymacja wariancji - obraz numer 1570
Estymacja wariancji - obraz numer 1571
Estymacja wariancji - obraz numer 1572
Estymacja wariancji - obraz numer 1573
Estymacja wariancji - obraz numer 1574
Estymacja wariancji - obraz numer 1575
Estymacja wariancji - obraz numer 1576
Estymacja wariancji - obraz numer 1577
Estymacja wariancji - obraz numer 1578

Estymacja wariancji - obraz numer 1579

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 1580 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1581

Estymacja wariancji - obraz numer 1582

Estymacja wariancji - obraz numer 1583

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 1584 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 1585 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1586 . Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1587 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 1588 i 29 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 1589

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1590 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 1591 i 29 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 1592

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 1593 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1594 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1595

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 1596

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja prędkości maksymalnej samochodów FSO 1500 mieści się w przedziale od 52,40 do 125,93 (km/godz.) .

Powstała dziwna jednostka – (km/godz.) , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji – jak najbardziej.

Na podstawie próby losowej obejmującej 26 paragonów kasowych pewnego stoiska kosmetycznego otrzymano średnią kwotę zakupu wynoszącą 48,80 zł i odchylenie standardowe 15 zł. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.

Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Na podstawie próby losowej obejmującej 26 paragonów kasowych pewnego stoiska kosmetycznego otrzymano średnią kwotę zakupu wynoszącą 48,80 zł i odchylenie standardowe 15 zł .

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich paragonów kasowych. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie 0 . Dodatkowo podano podstawowe parametry dla próby: średnia kwota zakupu wynosi 48,80 zł, a więc Estymacja odchylenie 1 , a odchylenie standardowe 15 zł, czyli Estymacja odchylenie 2 .

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.

Podano współczynnik ufności Estymacja odchylenie 3 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie 4 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA paragony kasowe stoiska kosmetycznego
PRÓBA 26 wybranych paragonów
Estymacja odchylenie 5

Estymacja odchylenie 6 – współczynnik ufności, Estymacja odchylenie 7

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.

Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie 8 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie 9 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie 10 nie jest znana , a liczebność próbyEstymacja odchylenie 11 jest mniejsza od 30 Estymacja odchylenie 12 , zatem wybieramy model I . W danych występuje Estymacja odchylenie 13 , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja odchylenie 14

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie 15 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie 16

Estymacja odchylenie 17

Estymacja odchylenie 18

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja odchylenie 19 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja odchylenie 20 oraz Estymacja odchylenie 21 . Zapis Estymacja odchylenie 22 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie 23 i 25 stopni swobody:

Estymacja odchylenie 24

Z kolei zapis Estymacja odchylenie 25 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie 26 i 25 stopni swobody:

Estymacja odchylenie 27

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie 28 oraz Estymacja odchylenie 29 :

Estymacja odchylenie 30

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie 31

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 nieznane odchylenie standardowe w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego mieści się w przedziale od 12,46 do 20,01 zł.

W celu oszacowania dyspersji jednostkowego kosztu produkcji (w zł) pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady, wylosowano do próby w niezależny sposób 196 zakładów otrzymując m.in. Estymacja odchylenie 1751 zł, Estymacja odchylenie 1752 zł. Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.

Występują tu zwroty: wyznaczyć przedział ufności współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W celu oszacowania dyspersji jednostkowego kosztu produkcji (w zł) pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady, wylosowano do próby w niezależny sposób 196 zakładów otrzymując m.in. Estymacja odchylenie 1753 zł, Estymacja odchylenie 1754zł.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek produkcyjnych spośród wszystkich zakładów. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie 1755 . Dodatkowo podano podstawowe parametry dla próby na podstawie przeprowadzonych pomiarów: średnią Estymacja odchylenie 1756 oraz odchylenie standardowe Estymacja odchylenie 1757 i nie ma tu wątpliwości co do oznaczeń.

Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.

Podano współczynnik ufności Estymacja odchylenie 1758 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie 1759 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA zakłady produkcyjne
PRÓBA 196 wybranych zakładów
Estymacja odchylenie 1760

Estymacja odchylenie 1761 – współczynnik ufności, Estymacja odchylenie 1762

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie 1763 z populacji. Poza tym w pierwszym zdaniu W celu oszacowania dyspersji … , znajduje się słowo dyspersja będące synonimem zróżnicowania, co w zadaniach na estymację przekłada się na szacowanie wariancji lub odchylenia standardowego.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie 1764 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie 1765 nie jest znana , a liczebność próbyEstymacja odchylenie 1766 jest większa od 30 Estymacja odchylenie 1767 , zatem wybieramy model II .

Estymacja odchylenie 1768

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie 1769 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie 1770

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis Estymacja odchylenie 1771 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla Estymacja odchylenie 1772 . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku Estymacja odchylenie 1773sumujemy Estymacja odchylenie 1774 i Estymacja odchylenie 1775 czyli Estymacja odchylenie 1776 .

Estymacja odchylenie 1777

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie 1778 (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Estymacja odchylenie 1779

Estymacja odchylenie 1780

Estymacja odchylenie 1781

Estymacja odchylenie 1782

Estymacja odchylenie 1783

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie 1784

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,99 nieznane odchylenie standardowe jednostkowego kosztu produkcji pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady mieści się w przedziale od 6,46 do 8,39 zł.

W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK). Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł. Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

Występują tu zwroty: oszacować przedział ufności Neymana prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK).

Na początku dowiadujemy się, że populacja liczy Estymacja odchylenie 32 pracowników. 40% z nich jest zadłużonych w SKOKach, a więc ilościowo Estymacja odchylenie 33 . Jeszcze nic nie wspomniano na temat próby.

Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł.

Dopiero teraz zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród zadłużonych pracowników. Stanowią oni 7,5% osób dłużników SKOKów. Obliczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie 34 . Jeszcze raz dla rozjaśnienia sytuacja przedstawia się następująco:

Estymacja odchylenie 35

Dodatkowo podano jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. odchylenie standardowe Estymacja odchylenie 36 (oczywiście używamy oznaczenia dla próby).

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości spłacanych rat i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja odchylenie 37 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie 38 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie 39 . Podano również współczynnik ufnościEstymacja odchylenie 40 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie 41 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA 5000 pracowników zakładu
PRÓBA 150 wybranych pracowników
Estymacja odchylenie 42 Estymacja odchylenie 43 – rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie 44 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie 45
Estymacja odchylenie 46

Estymacja odchylenie 47 – współczynnik ufności, Estymacja odchylenie 48

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie 49 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie 50 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie 51 nie jest znana , a liczebność próbyEstymacja odchylenie 52 jest większa od 30 Estymacja odchylenie 53 , zatem wybieramy model II .

Estymacja odchylenie 54

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie 55 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie 56

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis Estymacja odchylenie 57 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla Estymacja odchylenie 58 . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku Estymacja odchylenie 59sumujemy Estymacja odchylenie 60 i Estymacja odchylenie 61 czyli Estymacja odchylenie 62 .

Estymacja odchylenie 63

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie 64 (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Estymacja odchylenie 65

Estymacja odchylenie 66

Estymacja odchylenie 67

Estymacja odchylenie 68

Estymacja odchylenie 69

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie 70

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe wszystkich zadłużonych pracowników mieści się w przedziale od 71,88 do 90,19 zł.

Spośród rencistów województwa podkarpackiego wylosowano 60 osób i zapytano o wysokość rocznego dochodu z tytułu pobieranej renty, a wyniki przedstawiono następująco:

Dochód (w tys. zł)
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
16 – 20
20 – 24
Liczba rencistów
2
15
23
10
6
4

Źródło: dane umowne

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.

Występują tu zwroty: zbudować przedział ufności współczynnik ufności – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Spośród rencistów województwa podkarpackiego wylosowano 60 osób i zapytano o wysokość rocznego dochodu z tytułu pobieranej renty, a wyniki przedstawiono następująco:

Dochód (w tys. zł)
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
16 – 20
20 – 24
Liczba rencistów
2
15
23
10
6
4

Źródło: dane umowne

Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja odchylenie 600 osób i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja odchylenie 601 , wariancję Estymacja odchylenie 602 i odchylenie standardowe Estymacja odchylenie 603 (lub Estymacja odchylenie 604 , Estymacja odchylenie 605 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.

Podano też współczynnik ufności Estymacja odchylenie 606 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie 607 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA renciści województwa podkarpackiego
PRÓBA 60 wybranych rencistów
Estymacja odchylenie 608 – dane tabelaryczne (można obliczyć średnią Estymacja odchylenie 609 , wariancję Estymacja odchylenie 610 , odchylenie standardowe Estymacja odchylenie 611 )

Estymacja odchylenie 612 – współczynnik ufności, Estymacja odchylenie 613

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowegodochodu dla populacji rencistów.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie 614 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie 615 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie 616 nie jest znana , a liczebność próbyEstymacja odchylenie 617 jest większa od 30 Estymacja odchylenie 618 , zatem wybieramy model II .

Estymacja odchylenie 619

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie 620 konkretnymi danymi.

Jak widać do obliczenia końcówek przedziału ufności potrzebujemy odchylenia standardowego Estymacja odchylenie 621 z próby. W związku z tym, zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru, należy obliczyć (na razie) nieznany parametr. Liczenie odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (dochód) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

Estymacja odchylenie 622 – warianty obserwacji (dochód)
Estymacja odchylenie 623 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba rencistów)
Estymacja odchylenie 624
Estymacja odchylenie 625
Estymacja odchylenie 626
Estymacja odchylenie 627
Estymacja odchylenie 628
Estymacja odchylenie 629
Estymacja odchylenie 630
Estymacja odchylenie 631
Estymacja odchylenie 632
Estymacja odchylenie 633
Estymacja odchylenie 634
Estymacja odchylenie 635
Estymacja odchylenie 636 (suma)
Estymacja odchylenie 637

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością Estymacja odchylenie 638 , ponieważ nie zdarza się, aby Estymacja odchylenie 639 było zapisane w formie przedziałów. Symbol Estymacja odchylenie 640 to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację Estymacja odchylenie 641 , Estymacja odchylenie 642 (kończymy przedział na 4, następny również zaczynamy od 4), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Aby otrzymać odchylenie standardowe i tak musimy obliczyć wariancję, bo odchylenie jest pierwiastkiem kwadratowym z wariacji. Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:Estymacja odchylenie 643 . Jest też alternatywa Estymacja odchylenie 644 Estymacja odchylenie 645 , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru Estymacja odchylenie 646 Estymacja odchylenie 647 . Na początku wyjaśnijmy symbol Estymacja odchylenie 648 . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły Estymacja odchylenie 649 . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak Estymacja odchylenie 650 oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis Estymacja odchylenie 651 , a nad nim Estymacja odchylenie 652 , Estymacja odchylenie 653 to środki kolejnych przedziałów , a Estymacja odchylenie 654 liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny Estymacja odchylenie 655 , gdzie Estymacja odchylenie 656 będzie rosło od Estymacja odchylenie 657 aż do wartości Estymacja odchylenie 658 , czyli Estymacja odchylenie 659 , a więc ogólnie:

Estymacja odchylenie 660

W naszym przypadku Estymacja odchylenie 661 znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Estymacja odchylenie 662 Estymacja odchylenie 663 = Estymacja odchylenie 664

Czym jest Estymacja odchylenie 665 , Estymacja odchylenie 666 oraz Estymacja odchylenie 667 ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy
Estymacja odchylenie 668 – warianty obserwacji (dochód)
Estymacja odchylenie 669 – środki przedziałów
Estymacja odchylenie 670 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba rencistów)
Estymacja odchylenie 671
Estymacja odchylenie 672
Estymacja odchylenie 673
Estymacja odchylenie 674
Estymacja odchylenie 675
Estymacja odchylenie 676
Estymacja odchylenie 677
Estymacja odchylenie 678
Estymacja odchylenie 679
Estymacja odchylenie 680
Estymacja odchylenie 681
Estymacja odchylenie 682
Estymacja odchylenie 683
Estymacja odchylenie 684
Estymacja odchylenie 685
Estymacja odchylenie 686
Estymacja odchylenie 687
Estymacja odchylenie 688
Estymacja odchylenie 689
Estymacja odchylenie 690
Estymacja odchylenie 691
Estymacja odchylenie 692
Estymacja odchylenie 693
Estymacja odchylenie 694
Estymacja odchylenie 695
Estymacja odchylenie 696 (suma)
Estymacja odchylenie 697

Uzupełniając wzór średniej dla Estymacja odchylenie 698 otrzymujemy:

Estymacja odchylenie 699 Estymacja odchylenie 700 = Estymacja odchylenie 701 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość Estymacja odchylenie 702 mnożymy przez odpowiadającą jej wartość Estymacja odchylenie 703 , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem Estymacja odchylenie 704 i kolumny Estymacja odchylenie 705 daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy
Estymacja odchylenie 706 – środki przedziałów
Estymacja odchylenie 707 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja odchylenie 708
Estymacja odchylenie 709
Estymacja odchylenie 710
Estymacja odchylenie 711
Estymacja odchylenie 712
Estymacja odchylenie 713
Estymacja odchylenie 714
Estymacja odchylenie 715
Estymacja odchylenie 716
Estymacja odchylenie 717
Estymacja odchylenie 718
Estymacja odchylenie 719
Estymacja odchylenie 720
Estymacja odchylenie 721
Estymacja odchylenie 722
Estymacja odchylenie 723
Estymacja odchylenie 724
Estymacja odchylenie 725
Estymacja odchylenie 726
Estymacja odchylenie 727
Estymacja odchylenie 728
Estymacja odchylenie 729
Estymacja odchylenie 730
Estymacja odchylenie 731
Estymacja odchylenie 732
Estymacja odchylenie 733
Estymacja odchylenie 734
Estymacja odchylenie 735

Estymacja odchylenie 736

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

Estymacja odchylenie 737

i dla Estymacja odchylenie 738 :

Estymacja odchylenie 739

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału Estymacja odchylenie 740 odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią Estymacja odchylenie 741, druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości Estymacja odchylenie 742 i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja odchylenie 743 iEstymacja odchylenie 744 daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy
Estymacja odchylenie 745 – środki przedziałów
Estymacja odchylenie 746 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja odchylenie 747
Estymacja odchylenie 748
Estymacja odchylenie 749
Estymacja odchylenie 750
Estymacja odchylenie 751