JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.”

Mamy tu zwroty: zbudować przedział ufności oraz poziom ufności  – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych.”

Dowiadujemy się, że w zakładzie pracuje 300 robotników, ale nie ma kompletnie nic na temat losowania próby, także przyjmujemy, że jest to liczebność populacji  .

„Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty.”

W tym momencie zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o wylosowaniu konkretnej ilości pracowników, tak więc liczebność próby to  . Podano też średni czas montażu dla próby czyli  i odchylenie standardowe  . Oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby.

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.”

Podano poziom (współczynnik) ufności  . Od razu wyznaczamy  .

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu czasu montażu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać  – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnia wartość czasu montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników mieści się w przedziale od 17,28 do 18,72 minut.

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.”

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować przeciętne spożycie pieczywa, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)².”

W tym momencie wiemy, że badano 257 gospodarstw, ale nie ma wyraźnych wskazówek, że jest to próba. Trochę przeskoczymy i w ostatnim zdaniu „oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych” proszą o oszacowanie spożycia dla wszystkich gospodarstw, także te 257 jest tylko częścią całej populacji. Oznaczamy zatem liczebność próby  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Podano, że przeciętne spożycie, a więc średnią:  i wariancję  . Skoro określono wariancję to od razu warto wyznaczyć odchylenie standardowe  , a więc  .

„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.”

Podano też współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych. ”

Wyrażenie przeciętne oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych mieści się w przedziale od 15,36 do 16,64 kg.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Zwracamy uwagę na zdanie:

„Otrzymano przedział ufności  .”

Odnajdujemy w nim zwrot: przedział ufności.

„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”

W ostatnim zdaniu również występuje słowo przedział. Dodatkowym potwierdzeniem, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej jest wyrażenie: współczynnik ufności.

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności (  ), a szukany jest współczynnik ufności  z reguły występujący w danych, określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych.”

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 36 dni, a więc podano liczebność próby:  .

„Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł.”

Dla obserwowanej próby średnia sprzedaż wyniosła 139 zł, czyli  , a odchylenie standardowe 12 zł, czyli  . Oczywiście użyliśmy oznaczeń średniej i odchylenia standardowego dla próby.

„Otrzymano przedział ufności  .”

Podano końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średnia dla populacji zawarta jest w przedziale od 135,08 zł do 142,92 zł.

„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności, ale nie ma tu charakterystycznego zwrotu, który pozwalałby na wybór wzoru. Przyjrzyjmy się zdaniu:

„Otrzymano przedział ufności  .”

Podano tu końcówki przedziału ufności dla  , czyli wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności  , a tym samym nieznana jest  , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości  , więc potraktujmy ją jak niewiadomą i rozwiążmy równanie aby ją wyznaczyć. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 135,08 czy 142,92? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach  jest tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. A więc na przykład:

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać równania z literką  , to może nią spokojnie na początku zastąpić symbol  .

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej  , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością  we wnętrzu tablicy stanowi  . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy  i  czyli  . Pamiętajmy, że jest to  .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:  czyli odpowiedź C.

Interpretacja brzmi następująco, chociaż nie jest on w tym przypadku niezbędna:

Z ufnością 0,95 wartość ogółu nieznanych przeciętnych dziennych obrotów przedsiębiorstwa brokerskiego mieści się w przedziale od 135,08 zł do 142,192 zł.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

Odnajdujemy zwrot: oszacowanego przedziału, dodatkowo występuje wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Z treści zadania wynika, że nie trzeba obliczać końcówek przedziału ufności, a szukany jest współczynnik ufności  z reguły występujący w danych, zatem określimy to zadanie nieco kolokwialnie – „od tyłu”. Zresztą podano długość przedziału ufności. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym.”

Podano założenie normalności rozkładu czasu dojazdu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać  – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym  .

„W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników.”

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 100 pracowników, a więc podano liczebność próby:  .

„Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego.”

Podano średnią dla próby, czyli  i odchylenie standardowe dla próby. Co prawda nie jest podane bezpośrednio, ale jako połowa średniej, a więc  . Oczywiście użyliśmy oznaczeń dla próby.

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności  . Określono również długość szacowanego przedziału ufności – 7,84 min.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – długość przedziału ufności dla średniej z populacji

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności. Przyjrzyjmy się zdaniu:

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

Wiemy zatem, że zbudowano przedział ufności dla średniej z populacji  – przypominam, że przedział ufności jest budowany dla parametrów z populacji i dlatego nie  tylko  .

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności  , a tym samym nieznana jest  , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u).

Znamy jednak długość przedziału ufności  i w związku z tym należy jakoś tą informację wykorzystać.

Teraz na chwilę zapomnijmy o zadaniu i przypomnijmy sobie w jaki sposób oblicza się jego długość. Weźmy przykładowo przedział  i naszkicujmy go na osi.

Aby obliczyć długość przedziału należy od końcówki odjąć jego początek, a więc  .

Podobnie z przedziałem z zadania, a więc  , można oczywiście zapisać go w taki sposób  . Co prawda przedział nie jest uzupełniony do końca, ale postępujemy analogicznie:

Opuszczamy nawiasy:

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej  , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością  we wnętrzu tablicy stanowi  . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy  i  czyli  . Pamiętajmy, że jest to  .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności:  .

Interpretacja nie jest konieczna, zresztą i tak nie znamy końcówek przedziału ufności tylko jego długość.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ”

Mamy tu wyrażenie: wyznaczyć przedział ufności i dodatkowo poziom ufności- w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności możemy zająć się względną precyzją szacunku.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych.”

Tu nie mamy właściwie informacji na temat konkretnych danych liczbowych, ale podano, że populacja to wiejskie rodziny czteroosobowe.

„Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową.”

W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież  zł.”

Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli  .

„Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji  ”

Dowiadujemy się, że wydatki na odzież są cechą o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. wariancję dla populacji  . Od razu możemy wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji  i ostatecznie zapisać , że badana cecha na rozkład normalny o nieznanej średniej  i znanym odchyleniu standardowym  .

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ”

Na końcu podano współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  .”

Wyrażenie średnich oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  jest znana  i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Z kolei względna precyzja szacunku:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnie miesięczne wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych dla całej populacjimieszczą się w przedziale od 116,8 zł do 123,2 zł. Względny błąd szacunku wynosi 2,67%.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Odnajdujemy w nim zwrot: oszacuj metodą przedziałową. Występuje też wyrażenie współczynnik ufności –w związku z tym z całą pewnością zadanie dotyczy estymacji przedziałowej. Formuła na względny błąd szacunku zostanie określona na etapie wyboru wzoru na estymację.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. ”

Dowiadujemy się właściwie tylko, że bada się sportowców pod kątem czasu pokonania dystansu 100 m, a sam dystans nie jest (przynajmniej na razie) konkretnym parametrem do umieszczenia w danych.

„Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  . Określona jest średnia  i odchylenie standardowe z próby  . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Podano współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  nie jest mniejsza od 30, ale równa 30 (  ), zatem wybieramy model II. W danych występuje  , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 29 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

Z kolei względna precyzja szacunku:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:  .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu 100 m mieści się w przedziale od 11,24 sekund do 12,76 sekund. Względny stopień precyzji szacunku wynosi 6,33%.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

W tym zadaniu nie ma słowa, które jednoznacznie wskazywałoby, że jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Co prawda występuje wyrażenie współczynnik ufności, ale to trochę za mało. Bardziej naprowadzają nas na właściwy trop słowa: oszacowania wartości oczekiwanej, ponieważ oznacza to, że wartość oczekiwaną oszacowano przedziałem ufności, którego nie określono. Bardzo rzadko stosuje się tzw. estymację punktową (czyli jedna konkretna liczba), ponieważ prawdopodobieństwo właściwego wyniku jest praktycznie równe zero. Poza tym interesuje nas względna precyzja oszacowania, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. W zadaniu nie interesuje nas przedział ufności, ale do podania wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. W związku z tym będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej, ale będziemy liczyć wyłącznie to co nas interesuje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie  standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. ”

W tym momencie dowiadujemy się, że badano 100 największych firm, a więc uznamy to za próbę, której liczebność to  firm. Określona jest średni roczny zysk czyli średnia  i odchylenie standardowe z próby  . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Podano współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który był szacowany przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.”

Wyraz wartości oczekiwanej oznacza, że budowano przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  , a później  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: względny błąd szacunku wynosi 2,06%.

[/FMP]

[FMP]

Zadanie dotyczy bardziej części teoretycznej estymacji przedziałowej. Przypominam, że pytanie odnośnie względnej precyzji oszacowania wiąże się z zagadnieniem estymacji. W tym konkretnym zadaniu ograniczymy się do wyboru wzoru, bo nawet etap wypisania danych nic nie da, ponieważ  nie ma innych informacji oprócz współczynników ufności.

Podane są współczynniki ufności:

 i po wzroście 

Wybierając wzór widzimy, że dokonano oceny względnej precyzji wartości oczekiwanej, a liczebność próby jest duża. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność jest duża (  ), zatem wybieramy model III.

Określmy wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej  .

 , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej  :

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

Jak widać w danych nie mamy nic oprócz współczynników ufności, ale bardzo ważne jest, że po zwiększeniu poziomu ufności wartości średniej  , odchylenia standardowego  i liczebność próby  nie ulegają zmianie.

Uzupełnijmy wzór na  i  dla  (czyli  )

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

Względna precyzja szacunku: 

 i nic więcej nie można zrobić.

Podobnie postępujemy dla  (czyli  )

Ponownie należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

Względna precyzja szacunku: 

 i nic więcej nie można zrobić.

Porównajmy obydwa wyniki:

 i 

Zauważmy, że wielkości zaznaczone na czerwono w obu formułach są identyczne. Zmieniły się tylko współczynniki ufności, a tym samym wartości statystyk odczytanych z tablic. W związku z tym, że nie znamy danych zaznaczonych na czerwono możemy nieco krócej zapisać względne precyzje szacunku jako  i  . Łatwo je porównać. Jak widać po zwiększeniu współczynnika ufności procentowa wartość względnej precyzji szacunku ulega zmniejszaniu i to jest uniwersalna zasada. Nie otrzymaliśmy wyników podanych w odpowiedziach, ale to są tylko przykładowe liczby, można zastąpić je innymi. Wybieramy zatem odpowiedź B.

Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość  poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku  ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli  mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli  przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku  może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdania:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90. ”

Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  uczniów i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20.”

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. ”

W tym zdaniu nie ma żadnych wartości przydatnych na etapie wypisywania danych.

„Przyjąć współczynnik ufności 0,90. „

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i  w dużej mierze nie powtarzają się – zatem średnią liczymy ze wzoru  . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – i jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a ten wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię wzorów rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne obserwacje oznaczone symbolem  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  .

Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi  , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest  ? To są konkretne wyniki z próby, a więc  . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie zrobić. Porządkowanie liczb nie wpływa na wynik, także może zostać tak jak jest. A więc  .

Obliczamy średnią:

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych indywidualnych wygląda tak:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru będzie analogiczne jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla  :

Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

Możemy już podstawiać liczby za  , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdego wartości  odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 7 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: . 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów mieści się w przedziale od 13,63 minut do 21,63 minut.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”

Odnajdujemy w nich zwroty: wyznacz przedział ufności i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji. Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie. ”

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.”

Wyraz średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się – zatem średnią liczymy ze wzoru . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – i jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a ten wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię wzorów rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne obserwacje oznaczone symbolem  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  .

Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi  , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest  ? To są konkretne wyniki z próby, a więc  . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie zrobić. Porządkowanie liczb nie wpływa na wynik, także może zostać tak jak jest. A więc  .

Obliczamy średnią:

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych indywidualnych wygląda tak:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru będzie analogiczne jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla  :

Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

Możemy już podstawiać liczby za  , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdego wartości odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 5 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: . 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 wartość nieznanej średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie (czyli dla populacji)  mieści się się w przedziale od 0,192 Oe do 0,208 Oe.

[/FMP]

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . ”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbudować przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej.”

Co prawda nie określono precyzyjnie, czy mamy do czynienia z próbą, ale z późniejszej treści zadania wynika, że trzeba oszacować liczbę metrów kwadratowych tynku dla przeciętnego tynkarza. Badanych tynkarzy potraktujemy jako próbę, a jej liczebność to  i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4.”

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . „

Podano też współczynnik ufności  . Od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności  . ”

Wyrażenie wartości oczekiwanej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest mniejsza od 30 (  ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich  lub  . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się  (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku) i możemy korzystać ze wzorów dotyczących danych indywidualnych (podobnie jak w zadaniach 32-37). Zastanówmy się jednak, czy w tym zadaniu będzie to wygodne. Danych jest dość dużo, bo aż  i w dużej mierze powtarzają się. W związku z tym łatwiej będzie je posegregować w szereg punktowy tzn. wykonać tabelę, w której podliczymy ilości poszczególnych obserwacji.

W szeregu punktowym średnią liczymy ze wzoru  . Objaśnijmy go. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to wartości kolejnych obserwacji, a  liczebności dla tych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie  będzie rosło od aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę klas (ilość wierszy w tabeli z danymi, ilość wariantów obserwacji). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to pokażmy dokładnie w tabeli:

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu punktowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość  mnożymy przez odpowiadającą mu wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu punktowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdej wariantu cechy  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis  oznacza statystykę dla  i 19 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:  .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 wartość oczekiwana liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza  mieści się w przedziale od 4,58 m2/h do 5,42  m2/h.

[/FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbuduj przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):”

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to  mieszkań i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Podano też współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90. ”

Wyrażenie średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (powierzchnia mieszkalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością  , ponieważ nie zdarza się, aby  było zapisane w formie przedziałów. Symbol  to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację  , (kończymy przedział na 25, następny również zaczynamy od 25), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru  .

Na początku wyjaśnijmy symbol  . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły  . Upraszczając należy zsumować początek  i koniec  każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to środki kolejnych przedziałów, a  liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość  mnożymy przez odpowiadającą jej wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 nieznana średnia wartość powierzchni dla populacji mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku mieści się się w przedziale od 39,88 m2 do 43,52 m2.

[FMP]

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdania:

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99.”

Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia.”

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to  osób i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

„Otrzymano następujące wyniki (w punktach):”

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów.”

Z punktu widzenia analizy danych nie mamy w tym zdaniu istotnych informacji.

„Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?”

Podano też współczynniki ufności  i  , od razu wyznaczamy odpowiednio  i  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 – współczynnik ufności, 

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w końcówce zadania wyłapujemy słowo:

„Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. ”

Słowo średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

Ten sam wzór będzie użyty dla obydwu przyjętych współczynników ufności. Oprócz podania przedziałów ufności należy określić stopień precyzji oszacowania obu wyników. Najbardziej miarodajnym miernikiem jest względna precyzja szacunku  określona wzorem  , gdzie  (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej 

czyli  . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie  zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej  .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wyniki testu) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością  , ponieważ nie zdarza się, aby  było zapisane w formie przedziałów. Symbol  to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. Tabela z zadania niestety nie spełnia tego wymogu np.  , (przedział kończy się 9, następny zaczyna się od 10), itd. w związku z tym  musimy nieco przebudować przedziały aby zachować ciągłość. Liczebności poszczególnych przedziałów nie ulegają zmianie. Co prawda spotkałam się z obliczeniami bez zachowania ciągłości, niemniej jednak były to wyjątki. Jeśli nie jesteśmy pewni jak mamy postępować w takim przypadku, po prostu spytajmy prowadzącego zajęcia.  Z reguły zmianie ulegają końcówki przedziałów, a początki pozostają bez zmian. Zaczynamy od 5 i zamiast 9 przedział zakończymy na 10, ponieważ kolejny zaczyna się właśnie od 10 itd. Sama dziesiątka i tak nie wchodzi do pierwszego przedziału, ponieważ jest on prawostronnie otwarty. Tabela z przebudowanymi przedziałami wygląda następująco:

Przechodzimy do liczenia brakującej średniej i odchylenia standardowego.

 W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru  .

Na początku wyjaśnijmy symbol  . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły  . Upraszczając należy zsumować początek  i koniec  każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to środki kolejnych przedziałów, a  liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie  będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  . Na początku przyjmiemy współczynnik ufności  (  ), a następnie  (  ).

Dla  otrzymujemy:

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Z kolei dla  otrzymujemy:

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

Analogicznie określimy względną precyzję szacunku  , gdzie  .

Względna precyzja szacunku dla  :

 , tak więc  .

Względna precyzja szacunku dla  :

 , tak więc  .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy dla  : 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,51 punktów do 26,49 punktów.

Ostatecznie otrzymujemy dla  : 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 nieznany średni wynik testu logicznego myślenia dla ogółu kandydatów mieści się się w przedziale od 24,2 punktów do 26,8 punktów.

Po zmianie współczynnika ufności z 0,95 do 0,99 względna precyzja oszacowania zmalała z poziomu 3,88% do 5,1%. Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież po zwiększeniu współczynnika ufności otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość  poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku  ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli  mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli  przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku  może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych). Tak więc oszacowanie przy współczynniku ufności 0,95 jest bardziej precyzyjne.

[/FMP]