Krótki wstęp do teorii liczbowej

Teoria liczb jest gałęzią matematyki, która bada liczby całkowite, czyli wszystkie liczby całkowite po obu stronach wiersza liczbowego. Teoria liczb patrzy na konkretne właściwości liczb całkowitych i poszukuje wzorów w sposób, w jaki różne typy liczb są rozłożone lub powiązane ze sobą.

Przykłady teorii liczb

Poniżej znajduje się kilka tematów, które kurs teorii liczb mógłby prawdopodobnie dotyczyć, wraz z kilkoma przykładami każdego z nich.

Zasady podzielności.
Zasady podzielności są narzędziami, które pomogą ci szybko zorientować się, czy liczba jest podzielna przez pewną liczbę całkowitą. Poniżej przedstawiamy kilka przykładowych zasad.

Wszystkie liczby parzyste (kończące się na 0, 2, 4, 6 lub 8) są dzielone przez 2. Na przykład, 1,104 jest dzielone przez 2, ponieważ jego ostatnia cyfra, 4, jest dzielona przez 2.
Liczba jest dzielona przez 3, jeśli suma jej cyfr jest dzielona przez trzy. Na przykład, liczba 288 jest dzielona przez 3, ponieważ 2+8+8=18, która jest dzielona przez 3.
Liczba jest dzielona przez 6, jeśli jest dzielona przez 2 i 3. W drugim przykładzie powyżej ustaliliśmy, że 288 jest podzielna przez 3. Ponieważ kończy się liczbą parzystą, jest również dzielna przez 2, co oznacza, że 288 jest dzielna przez 6.
Czynniki.
Czynniki są to dwie liczby całkowite, które po pomnożeniu razem równają się trzeciej liczbie. Wszystkie liczby z wyjątkiem 0 i 1 mają co najmniej dwa czynniki: 1 oraz sama liczba. Ale liczby mogą mieć o wiele więcej czynników. Na przykład liczba 100 ma 9 czynników: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100.

Liczby pierwsze.
Liczby pierwsze są specjalnym zestawem liczb, które mają tylko 2 różne czynniki: 1 i samego numeru. Liczba 11 jest liczbą pierwszą, na przykład, ponieważ jej jedynymi czynnikami są 1 i 11. Natomiast liczba 12 jest liczbą złożoną (nieprime), ponieważ ma 5 różnych czynników: 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Matematycy interesują się liczbami głównymi, ponieważ reprezentują one bloki wszystkich istniejących liczb. Oznacza to, że każda liczba złożona może być reprezentowana jako iloczyn czynników nadrzędnych. Na przykład 100 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5. Primes są również bardzo interesujące, ponieważ jest jeszcze wiele rzeczy, które nie są jeszcze znane.

Kilka prostych teorii liczbowych problemów i rozwiązań

Wiele podstawowych problemów teorii liczbowych dotyczy faktoringu. Poniżej znajduje się kilka przykładów:

Problem: Masz pewną ilość plików cookie. Możesz dzielić się nimi z 2 osobami, 3 osobami lub 4 osobami na równi. Jaka jest minimalna liczba plików cookie, którą możesz mieć, aby spełnić te warunki?

Rozwiązanie: Odpowiedź brzmi 12, ponieważ 2, 3 i 4 są czynnikami 12, a 12 jest najniższą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Problem: Których z poniższych liczb nie można podzielić na mniejsze równe grupy: 5106, 5281 lub 5751?

Rozwiązanie: 5281 jest liczbą pierwszą, więc nie można jej dzielić na mniejsze równe grupy. Można go znaleźć w procesie eliminacji. 5106 kończy się liczbą parzystą, więc musi być podzielna przez 2. W przypadku 5751, suma jego cyfr (5+7+5+1+1=18) jest dzielona przez trzy, więc 5751 musi być dzielona przez 3.

Teoria zastosowań teorii liczb

Jednym z najbardziej znanych zastosowań teorii liczb jest kryptografia, szczególnie online. Współczesna kryptografia zależy od pierwszorzędnej faktoryzacji bardzo dużych liczb. Teoria liczb w dużym stopniu przyczyniła się również do rozwoju informatyki.