Czym jest sekwencja arytmetyczna?
Sekwencja arytmetyczna to nieskończony ciąg liczb, w którym różnica między każdą parą kolejnych liczb jest zawsze taka sama. Na przykład w sekwencji 1, 3, 5, 7, 9 … różnica między jedną liczbą a drugą zawsze wynosi 2.
Jaka jest stała różnica (d) między dowolnymi dwoma kolejnymi liczbami w następujących sekwencjach?
-5, -3, -1, 1, 3, 5 . . .
.5, 1, 1.5, 2 . . .
10, 6, 2, -2 . . .
W pierwszej sekwencji, d = 2, ponieważ można dodać 2 do dowolnej liczby w sekwencji, aby uzyskać następną liczbę. Na przykład: -3 + 2 = -1 i 1 +2 = 3. W drugiej kolejności, d = .5. W trzeciej kolejności każda liczba jest o 4 mniej niż poprzednia, więc d = -4.
Formuła rekursywna dla sekwencji arytmetycznej
Jednym ze sposobów znalezienia liczby w sekwencji jest użycie formuły rekurencyjnej. Do napisania formuły używamy następującego zapisu:
a jest terminem w sekwencji.
n to liczba terminów w sekwencji.
d jest stałą różnicą pomiędzy terminami.
Tak więc an = an-1 + d
Innymi słowy, aby znaleźć piątą liczbę w sekwencji o stałej różnicy 6, musimy znać czwartą liczbę (an-1) i dodać do niej 6. Jeśli otrzymamy sekwencję 5, 11, 17, 23 i musimy znaleźć następną liczbę, możemy łatwo zastosować tę formułę, dodając 6 do 23 i otrzymując 29. Innymi słowy, jeśli d = 6, a jeśli an – 1 = 23, wówczas
an = 23 + 6 = 29
Wyraźny wzór na sekwencję arytmetyczną
Jeśli jednak mamy tylko pierwszą liczbę w sekwencji (a1), to bardziej użytecznym sposobem na znalezienie innej liczby w sekwencji może być jednoznaczna formuła. Aby zrozumieć, w jaki sposób formuła wyraźna jest wyprowadzana, zacznijmy od następnej sekwencji, gdzie d = -7:
100, 93, 86, 79 . . .
Aby uzyskać pierwszą liczbę, zaczynamy od 100 i dodajemy -7 razy zero. Więc a1 = 100 + (-7 x 0). Aby uzyskać drugą liczbę, odejmujemy 7 razy. Więc a2 = 100 + (-7 x 1). Następna liczba w serii to a3 = 100 + (-7 x 2), i tak dalej. Za każdym razem, gdy dodajemy -7 dokładnie jeden raz mniej niż liczba terminów w sekwencji. Dlatego możemy napisać ogólną formułę do wyrażenia tego wzoru w następujący sposób:
an = a1 + (n-1) x d
Jeśli chcemy znaleźć na przykład 17-ty numer w serii rozpoczynającej się od 3 i posiadającej stałą różnicę .5, możemy wprowadzić tę informację do takiego wzoru:
a17 = 3 + (17-1) x .5 = 11
Praktyka
Problem 1: Jaka jest stała różnica (d) w następującej kolejności?
24, 32, 40, 48, 56 . . .
Rozwiązanie: W tej sekwencji d = 8, ponieważ do każdej liczby możemy dodać po 8, aby uzyskać następną liczbę.
Problem 2: Jaka jest następna cyfra w powyższej kolejności?
Rozwiązanie: Stosując formułę rekurencyjną wiemy, że szósta liczba (a6) jest równa piątej liczbie (a6-1) plus stała różnica (d). Od 56 + 8 = 64, następna liczba w serii to 64.
Problem 3: Napisz wyraźną formułę dla sekwencji w Problemie 1 i użyj tej formuły, aby znaleźć jedenastą liczbę w sekwencji.
Rozwiązanie: Ponieważ an = 24 + (n-1) x 8, i n = 11, wtedy a11 = 24 + (11-1) x 8 = 104.