Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 2-15 należy wykupić abonament

Pewien zakład produkcyjny zatrudnia 100 pracowników, których staż pracy jest zgodny z rozkładem normalnym N(10 lat, 5 lat). Obliczyć ilu pracowników miało staż:
a) krótszy niż 3 lata
b) dłuższy niż 15 lat

Zajmijmy się najpierw przypadkiem pojedynczego pracownika o stażu pracy 

    \[X \sim N(10, 5)\]

a)

    \[P(X < 3) = P( \frac{X - 10}{5} < \frac{3 - 10}{5} ) = P(Z < -1.4) = \Phi(-1.4) =\]

    \[1 - \Phi(1.4) \approx 1 - 0.91924 = 0.08076\]

b)

    \[P(X > 15) = P(\frac{X - 10}{5} > \frac{15-10}{5}) = P(Z > 1) =\]

    \[1- \Phi(1) \approx 1 -0.84134 = 0.15866\]

Póki co wyliczyliśmy prawdopodobieństwo, że wybrany pracownik będzie pracował mniej niż 3 lata (przykład a) lub więcej niż 15 lat (przykład b).
Aby wyliczyć ilość osób musimy skorzystać ze wzoru:

    \[n_{i} = n \cdot p_{i}\]

n – ilość pracowników spełniających kryterium
n – ilość pracowników
pi – prawdopodobieństwo, że dany pracownik spełnia kryterium

Czyli teraz już łatwo możemy obliczyć ile pracowników spełnia kryterium (a) a ile kryterium (b):

Liczba pracowników pracujących mniej jak 3 lata:

    \[0.08076 \cdot 100 = 8.076 \approx 8\]

Liczba pracowników pracujących więcej jak 15 lat:

    \[0.15866 \cdot 100 = 15.866 \approx 16\]

Zmienna losowa X ma rozkład N(0;0,5). Zmienna losowa Y jest z rozkładu Yexp(X). Oblicz P(1<Y<e):

Wybierz pakiet:
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
Abonament 30 dni
Abonament 90dni

Abonament 30 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 30dni
29,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość

Abonament 90 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 90dni
49,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość
Anuluj

Długość produkowanych detali ma rozkład N(0.9,0.03). Norma przewiduje wyroby o wymiarach 0.9±0.05. Oblicz jaki procent wyrobów nie spełnia wymogów.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wiadomo, że odchylenie wagi noworodków wynosi 500g. Jak rozmiar próby jest potrzebny aby odchylenie standardowe średniej wagi noworodków było mniejsze niż 100g.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Zmienna losowa X ma rozkładu normalny N(10,2). Wyznacz prawdopodobieństwa:

  1. P(X<13)
  2. P(X>9)
  3. P(6<X<14)
  4. P(2<X<4)

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 150 dzieci. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 kg i wariancją równą 100 kg . W powyższym przykładzie dominanta ma wartość…

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W teście, którego wyniki charakteryzują się średnią równą 20 i odchyleniem standardowym równym 7 pewien słuchacz zdobył 25 punktów. Jaki procent studentów uzyskało gorszy wynik od owego delikwenta ? (rozkład wyników był rozkładem normalnym).

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Poziom kwasu moczowego w osoczu podlega rozkładowi normalnemu. W przedziale od 3,0mg/100ml do 6,7mg/100ml, symetrycznym względem najczęściej występującej wartości zawiera się 95% wartości poziomów kwasu moczowego w osoczu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, ze poziom kwasu moczowego w osoczu jest większy niż 5mg/100ml.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Stwierdzono , że masa ciała tuczników podlega rozkładowi normalnemu o parametrach (120kg,20kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 5 wybranych tuczników dokładnie jeden ma masę powyżej 140 kg ?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wzrost mężczyzn podlega rozkładowi normalnemu o średniej 180 cm , przy czym 2,5% mężczyzn jest niższych niż 170,2 cm. Jaki procent mężczyzn jest wyższy niż 185 cm ?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Zakładając, ze tygodniowa kwota wydatkowana przez 4-osobową rodzinę na kupno mleka ma rozkład normalny ze średnią 5.2 zł, obliczyć odchylenie standardowe. Wiadomo, ze 30.15% ogółu tych rodzin wydaje na mleka mniej niż 3,6 zł.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Rozkład płac pracowników w firmie A jest normalny z oczekiwaną wartością m=2000 . Wybrano 25 pracowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest większa od 1800, jeśli wariancja płacy pracowników firmy A jest równa 250000zł2.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Zmienna losowa x ma rozkład normalny N (190,120). Znajdź Xi.

a) P(X<x1) = 0.03
b) P(X>x2) = 0.995

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Na podstawie dancyh dotyczących zarobków w pewnej firmie wyliczono, że μ=2000 oraz σ=400. Oblicz prawdopodobieństwo, że 30 losowo wybranych pracowników zarabia więcej niż 68 000zł.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Rzucamy 100 razy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa niż 300

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Rozkład normalny

Początki historii rozkładu normalnego wiążą się z nazwiskiem A. de Moivre’a, matematyka, który otrzymał rozkład normalny jako graniczną postać rozkładu dwumianowego. Dalszy rozwój teorii w tym zakresie wiąże się z nazwiskami P.S. Laplace’a oraz K.F. Gaussa. W teorii statystyki rozkład normalny określa się najczęściej jako rozkład Gaussa. Rozkład normalny odgrywa ważną rolę zarówno w teorii prawdopodobieństwa, jak i w statystyce matematycznej. Obserwacja wielu zjawisk świata fizycznego pozwoliła stwierdzić, że podlegają one prawu rozkładu normalnego. I tak, rozkład normalny (lub bardzo zbliżony do normalnego) mają np. następujące zmienne:

1) waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich lub zwierzęcych
2) plon na jednakowych poletkach doświadczalnych
3)losowe błędy pomiarów

Do rozkładu normalnego prowadzi taki proces kształtowania zjawiska, w ramach którego na dane zjawisko oddziałuje duża liczba niezależnych czynników, których wpływ, traktowany odrębnie, jest mało znaczący. Uzasadnienia dla normalnego rozkładu zjawisk na gruncie rachunku prawdopodobieństwa dostarcza tzw. centralne twierdzenie graniczne.

Obliczanie prawdopodobieństw(a<X<=b), gdzie a<b w rozkładzie normalnym o dowolnych parametrach m i δ jest pod względem rachunkowym bardzo kłopotliwe – wymagałoby całkowania funkcji gęstości z odpowiednimi parametrami w granicach a i b. Bardzo użyteczna okazuje się w takim przypadku możliwość sprowadzenia dowolnego rozkładu normalnego do postaci tzw. standardowego rozkładu normalnego, którego funkcja gęstości i dystrybuanta zostały stablicowane.

Rozkład normalny ze średnią m=0 oraz odchyleniem standardowym δ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym i oznaczamy N(0,1)

Zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny przyjęło się oznaczać przez U, jej funkcję gęstości przez φ(u), natomiast dystrybuantę przez Φ(u).
Wartości φ(u) oraz Φ(u) dla różnych wartości u są, jak już wspomnieliśmy stablicowane. Ze względu na symetrię funkcji φ(u) względem prostej u=0 w tablicach podane często są wartości obu funkcji tylko dla dodatnich u. Przy wyznaczaniu wartości dla ujemnych u korzysta się z własności φ(u)=φ(-u).
Operacja zwana standaryzacją zmiennej losowej X umożliwia korzystanie z tablic standardowego rozkładu normalnego przy obliczeniu prawdopodobieństw postaci P(a<X<=b) dla zmiennej losowej X o rozkładzie z parametrami m i δ. Można mianowicie dowieść, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(m,δ), to zmienna standaryzowana ma rozkład N(0,1)

rozklad normalny - napis