Rozkład dwumianowy i Poissona – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 2-9 należy wykupić abonament

W pewnej fabryce produkuje się 2 gatunki danego produktu: 40% produkcji to wyrób I gatunku, natomiast pozostała część to wyrób II gatunku. Odbiorca planuje zakupić 5 losowych produktów. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

  1. Dokładnie 2 produkty będą z I gatunku
  2. Co najmniej 2 produkty będą z I gatunku
  3. jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca jeśli zakupi 200 sztuk wyrobów?

W każdym przypadku prawdopodobieństwem sukcesu będzie wylosowanie produktu z I gatunku, czyli p = 0.4

Ad1)
n = 5
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że:

    \[T_{n} = (\overline{i}_{g} - 1)\cdot 100\% = (1.029 - 1)\cdot 100\% = 0.029 \cdot 100\% = 2.9\%\]

Najpierw obliczmy symbol Newtona:

    \[{5\choose 2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10\]

Wracając do równania otrzymujemy, że:

    \[P(X_{5} = 2) = 10 \cdot 0.4^{2} 0.6^{3} = 0.3456\]

Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 produktów z I gatunku wynosi 34.56%.

Ad2)
Co najmniej 2 produkty z I gatunku zapisujemy:

    \[P(X_{5} \geq 2) = P(X_{5} = 2) + P(X_{5} = 3) + P(X_{5} = 4) + P(X_{5} = 5)\]

Zamiast liczyć 4 prawdopodobieństwa skorzystamy z faktu, że:

    \[P(X_{5} \geq 2) = 1 - P(X_{5} < 2)\]

    \[P(X_{5} < 2) = P(X_{5} = 0) + P(X_{5} = 1)\]

Czyli wystarczy obliczyć 2 prawdopodobieństwa:

    \[P(X_{5} = 0) = {5\choose 0} 0.4^{0} 0.6^{5} = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 \approx 0.078\]

    \[P(X_{5} = 1) = {5\choose 1} 0.4^{1} 0.6^{5-1} = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 \approx 0.259\]

    \[P(X_{5} < 2) = P(X_{5} = 0) + P(X_{5} = 1) \approx 0.078 + 0.259 = 0.337\]

    \[P(X_{5} \geq 2) = 1 - P(X_{5} < 2) = 1 - 0.337 = 0.663\]

Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 produktów z I gatunku wynosi 66.3%.

Ad3)
Średnia liczba wyrobów jaką możemy się spodziewać to nic innego jak wartość oczekiwana.
Ze wzoru mamy, że:

    \[EX = np = 200 \cdot 0.4 = 80\]

Odp: Jeśli zakupi 200 sztuk wyrobów może spodziewać się 80 wyrobów I gatunku.

Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy ze średnią 12 i wariancją 4.
Oblicz n oraz p.

Wybierz pakiet:
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
Abonament 30 dni
Abonament 90dni

Abonament 30 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 30dni
29,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość

Abonament 90 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 90dni
49,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość
Anuluj

Rzucamy 4 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

  1. Dokładnie raz wypadnie 3
  2. Co najmniej 2 razy wypadnie liczba parzysta

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W pewnym zakładzie produkcyjnym 1 na 1000 samochodów posiada wadliwą instalację hamulcową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 tyś. samochodów będzie dokładnie 10 zepsutych?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

U pewnego gatunku ryb na każde 100 samic przypada 1 samiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w akwarium zawierającym 250 ryb znajdą się co najmniej 2 samce?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Ilość wypadków w pewnej firmie w ciągu miesiąca można opisać rozkładem Poissona z intensywnością λ=3.2. Oblicz:

  1. Prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2 zdarzenia
  2. Prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24 zdarzenia
  3. Prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca wyniesie mniej niż 3

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona λ=2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
a) dokładnie jedną rodzynkę
b) co najmniej 5 rodzynek
c) więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
d) co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wyznacz prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia rzadziej niż 2 razy wiedząc, ze wartość oczekiwana to 2.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Zmienna losowa ma rozkład Poissona. Ile wynosi P(X3) i P(X=8) jeżeli wiadomo, że P(3) = 0,204588166 i P(5) = 0,147712656?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy został sformułowany przez szwajcarskiego matematyka J. Bernoulliego. Definicja rozkładu dwumianowego opiera się na eksperymencie przeprowadzonym zgodnie z tzw. schematem Bernoulliego. Przebieg tego eksperymentu przedstawimy poniżej:

Wykonujemy doświadczenie którego rezultatem może być zdarzenie A z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne z prawdopodobieństwem q= 1-p. Jedno z tych zdarzeń (np. A) określa się zwyczajowo jako „sukces”, drugie – jako „porażkę”. Doświadczenie to powtarzamy n-krotnie w sposób niezależny, czyli tak, że prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedynczych próbach stałe i równe p. Liczba sukcesów, jaką zaobserwujemy w wyniku n-krotnego powtórzenia doświadczenia, może być równa k=0,1,2,…,n.
Przykład:
Dokonujemy 5 niezależnych prób uzyskania połączenia telefonicznego, przy czym prawdopodobieństwo uzyskania połączenia w pojedynczej próbie wynosi 0,6. W efekcie można uzyskać połączenie(sukces) k = 0,1, …, 5 razy.

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości k= 0,1,2, …, n z prawdopodobieństwami określonymi wzorem

    \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\]

Liczbę doświadczeń n oraz prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy parametrami tego rozkładu.

Rozkład Poissona

Rozkład ten został wprowadzony przez S.D. Poissona. Przy zastosowaniu tego rozkładu można w sposób przybliżony charakteryzować takie zjawiska, jak liczba usterek w produkowanych urządzeniach, liczba skaz na określonej powierzchni materiału, liczba zgłoszeń szkód ubezpieczeniowych w określonym czasie, liczba cząsteczek emitowanych przez substancję radioaktywną w krótkim czasie, liczbę błędów drukarskich na jednej stronie itp. Pokażemy również, że w określonych warunkach rozkład Poissona można wykorzystać jako wygodne przybliżenie rozkładu dwumianowego.

Zmienna losowa X przyjmująca wartości k=0, 1, 2, … ma rozkład Poissona o parametrze λ, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa, opisana jest wzorem:

    \[P(X=k)\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }, \; dla\; k=0,1,2,...\]

gdzie  λ jest dodatnią stałą ( λ>0)

Opierając się na definicji wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej skokowej, dla rozkładu Poissona otrzymujemy:
E(X) =  λ
D2(X)= λ
Widzimy więc, że parametr  λ występujący we wzorze jest średnią i zarazem wariancją zmiennej losowej o rozkładzie Poissona.

Rozklad dwumianowy i Poissona - napis