Przedziały ufności i testowanie hipotez – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 3-11 należy wykupić abonament

Wybierz pakiet:
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
Abonament 30 dni
Abonament 90dni

Abonament 30 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 30dni
29,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość

Abonament 90 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 90dni
49,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość
Anuluj

W 25- elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano:

    \[\overline{X} = 37.3cm\]

    \[s^{2} =13.5 cm^{2}\]

Zakładamy, że rozkład średnicy drzew w tym lesie jest w przybliżeniu normalny. Wyznaczyć 96%-ową realizację przedziału ufności dla przeciętnej liczby drzew w tym lesie.

Zwróćmy uwagę na to, że n < 30 a wariancja została otrzymana(wyliczona) z próby 25 elementowej więc skorzystamy z dystrybuanty rozkładu t-studenta.

1α=0.96
α=0.04

    \[\large t_{0.04, 24} =2.492\]

Teraz wystarczy podstawić do wzoru, czyli

    \[( 37.3 - 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{25}}, 37.3 + 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{25}} )\]

    \[( 37.3 - 1.83, 37.3 + 1.83 ) = ( 35.47 , 39.13 )\]

Odp: 96% przedział ufności przeciętnej liczby drzew w tym lesie wynosi (35.47 , 39.13).

Teraz odczytujemy z tablicy rozkładu t-studenta wartość dla

Ankieter zapytał szesnastu studentów ile litrów kawy każdy z nich wypił w tygodniu poprzedzającym kolokwium z statystyki. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie 0.1 z pobranej próby wyniósł (2,8).
Oblicz średnią i wariancję ilości litrów wypitej kawy w tej próbie, zakładając że pochodzi z rozkładu normalnego.

Ponieważ mamy obliczyć wariancję w próbie to zakładam, że prawdziwa wariancja nie jest znana. Dodając do tego fakt małej liczebności próby n = 16 oznacza, że będziemy korzystać z rozkładu t-studenta.
Dla małej liczebności i nieznanej wariancji przedział ufności prezentuje się następująco:

    \[m \in ( \overline{X} - t_{1 -\alpha,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} , \overline{X} + t_{1 - \alpha,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} )\]

Zarówno prawy jak i lewy koniec przedziału ufności jest tak samo odległy od 

    \[\overline{X}\]

Możemy łatwo go wyliczyć, ponieważ leży on dokładnie na środku przedziału ufności.

Wynika z faktu, że do obu końców dodajemy/odejmujemy tę samą liczbę.

    \[\overline{X} = \frac{2+8}{2} = 5\]

    \[t_{\alpha,n-1} = t_{0.1,16-1} = t_{0.1,15} = 1.753\]

Skorzystamy z prawego końca przedziału ufności:

    \[2 = \overline{X} - t_{0.1,15} \frac{s}{\sqrt{16}} = 5 - 1.753 \cdot \frac{s}{4}\]

    \[1.753 \cdot \frac{s}{4} = 5-2 = 3\]

    \[0.438 \cdot s = 3\]

    \[s \approx 6.85\]

    \[s^{2} \approx 46.92\]

Odp: W tej grupie studentów średnia liczba wypitych kaw wynosi 5kaw, a wariancja 46.92 kaw2.

Średnia cena 50 losowo wybranych podręczników akademickich wyniosła 28.40 PLN. Wiadomo, ze odchylenie standardowe cen podręczników wynosi 4.75 PLN. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla średniej ceny podręcznika akademickiego zakładając, ze rozkład cen jest rozkładem normalnym.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W grupie 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra 1584 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich jedynym środkiem dojazdu do pracy. Wyznacz 90%- realizację przedziału ufności dla odsetka osób, dla których metro jest jedynym środkiem dojazdu do pracy.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W celu oszacowania jak duży jest odsetek rodzin 3 osobowych, w których kobieta pracuje zawodowo, zbadano 500 takich rodzin uzyskując wynik 180 pracujących kobiet. Przyjmując 1α=0.98  oszacować odsetek ogółu kobiet, w których kobieta pracuje zawodowo.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wiadomo, że rozkład wagi wśród tabliczek czekolady pochodzących od pewnego producenta ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym wynoszącym 5g. Ile co najmniej tabliczek czekolady należy wylosować, aby na podstawie danych dotyczących ich wagi można było na poziomie ufności 0.9 oszacować przedziałowo przeciętną wagę tabliczek czekolady pochodzących od tego producenta z maksymalnym błędem wynoszącym 6g.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Prowadzone są bardzo czasochłonne i cenne badania laboratoryjne. Jaka powinna być minimalna ilość n niezależnych pomiarów, aby uzyskać dokładność nieprzekraczającą 2 jednostek pomiarowych, dla oszacowania wartości przeciętnej w rozkładzie normalnym o znanej wariancji = 8 a poziomie ufności równym 0.97.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wylosowano 400 osób, których zapytano o to, czy palą papierosy. Wśród ankietowanych 160 odpowiedziało twierdząco. Czy wylosowana próba jest wystarczająca do budowy przedziału ufności dla współczynnika udziału palących na poziomie ufności 95% przy maksymalnym błędzie wynoszącym 4%?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Chcemy zbadać hipotezę, że średni czas przejazdu linii tramwajowej Y wynosi 28 minut.
W tym celu wykonaliśmy 100 pomiarów czasu przejazdu i otrzymaliśmy następujące wyniki:

    \[\overline{X} = 30, s = 10\]

Przetestuj hipotezę na trzech poziomach ufności:
a) 90%
b) 95%
c) 99%

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Norma techniczna przewiduje średnio 64 sekundy na ułożenie w kartonie 100 tabliczek czekolady. Czas trwania tej czynności jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 10 sekund. Ponieważ robotnicy często skarżyli się, że norma jest źle ustalona, dokonano pomiaru czasu trwania tej czynności u losowo wybranych 225 robotników i otrzymano, że średni czas trwania czynności jest równy 65 s.
Czy na poziomie istotności 0,07 można stwierdzić, że średni czas czynności jest większy niż norma?
Przy jakim poziomie istotności decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Sprawdzano, czy poziom samooceny w badanej grupie studentów różni się od przeciętnego poziomu samooceny w ogólnej populacji studentów.
Poziom samooceny mierzony był na skali ilościowej – im wyższa wartość, tym wyższa samoocena.
Wyniki w badanej próbie: 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10
Przeciętny poziom samooceny w populacji wynosi m = 7.10

Proszę sprawdzić, czy średni poziom samooceny w badanej grupie studentów różni się od średniej w populacji na poziomie istotności 2%.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Przedzialy ufnosci i testowanie hipotez - napis