Indeksy – zadania

Pewna firma prowadziła kampanię reklamową, którą została rozpoczęta w 2010 i trwała 3 lata. Wartość sprzedaży została przedstawiona w poniższej tabeli:

ROK2009(przed kampanią)201020112012
WARTOŚĆ SPRZEDAŻY10.00012.00011.00011.000

1) Oblicz i opisz słownie indeksy jednopodstawowe przyjmując za podstawę rok 2009.
2) Czy reklamę można ocenić za skuteczną?
3) Oblicz średniookresowe tempo zmian w okresie 2009-2012.

Ad 1)Indeksy podstawowe wynoszą:

    \[i_{2010/2009} = \frac{12}{10} = 1.2\]

    \[i_{2011/2009} = \frac{11}{10} = 1.1\]

    \[i_{2012/2009} = \frac{11}{10} = 1.1\]

Opiszmy jeszcze słownie indeksy dotyczące kolejnych lat:

W 2010 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o (i2010/2009-1)100%=0.2100%=20%

W 2011 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o 10%.

W 2012 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o 10%.

Ad2)
To zależy od samych założeń kampanii. Jeżeli naszym cele było zwiększenie sprzedaży do 15tys. to kampanie należałoby uznać za nieskuteczną.
Zwróćmy uwagę, że wszystkie indeksy jedno podstawowe są większe od 1, czyli w każdym roku wartość była większa niż w roku 2009 czyli możemy założyć, że nasza kampania reklamowa była skuteczna.

Ad3)
Średniookresowe tempo zmian w latach 2009-2012 wynosi:

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[n-1]{i_{n/1}} = \sqrt[3]{i_{2012/2009}} = \sqrt[3]{1.1} \approx 1.03\]

    \[T_{n} = 0.03 \cdot 100\% = 3\%\]

Czyli średnio co roku liczba sprzedanych komputerów wzrastała o 3%.

Dynamikę produkcji budzików w latach 1994-2000 charakteryzują następujące indeksy (rok 1993=1): 3.02, 3.71, 3.50, 1.52, 1.28, 1.40, 1.20.

a) Produkcja budzików w roku 1998 w stosunku do roku 1995 …… (wzrosła/zmalała) o ….. procent.

b) Jeśli produkcja w 1996 roku wynosiła 300 tys. szt. to w roku 2000 wynosiła ona…..

c) Jeśli średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000 nie ulegnie zmianie, to jeśli w 1996 roku produkcja wynosiła 300 tys. szt. to w 2003 roku będzie wynosiła……

Najpierw przepiszmy dane to tabelki by łatwiej było pracować:

Rok1994199519961997199819992000
1993=13.023.713.501.521.281.401.20

Ad a)

    \[i_{1995/1993} = 3.71, i_{1998/1993} = 1.28\]

Ponieważ i1995/1993>i1998/1993 to produkcja budzików w 1998 była mniejsza niż w 1995. Teraz policzymy o ile była mniejsza:

    \[\frac{i_{1998/1993}}{i_{1995/1993}} = \frac{1.28}{3.71} \approx 0.35\]

Czyli produkcja w 1998 stanowiła 35% produkcji z 1995 co oznacza, że produkcja spadła o 100% – 35% = 65%.

Odp: Produkcja budzików w roku 1998 w stosunku do roku 1995 zmalała o 65% procent.

Ad b)

    \[i_{1996/1993} = 3.50, i_{2000/1993} = 1.20\]

Możemy to wyliczyć ze zwykłej proporcji:

3.50 —————– 350 000 sztuk
1.20 —————– x sztuk

    \[3.50 \cdot x = 1.20 \cdot 350 000 = 420 000\]

    \[x = \frac{420 000}{3.50} = 120 000\]

Odp: Jeśli produkcja w 1996 roku wynosiła 300 tys. szt. to w roku 2000 wynosiła ona 120 tys. sztuk.

Ad c)
Najpierw musimy obliczyć średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000:

    \[i_{1996/1993} = 3.50, i_{2000/1993} = 1.20\]

Tak jak w przypadku punktu a) produkcja zmniejszyła się. Policzmy zatem o ile się zmniejszyła:

    \[\frac{i_{2000/1993}}{i_{1996/1993}} = \frac{1.20}{3.50} \approx 0.34\]

Czyli gdybyśmy jako podstawę przyjęli rok 1996 to i2000/1996=0.34 Teraz przejdziemy do policzenia średniookresowego tempa zmian dla lat 1996-2000:

    \[\overline{i}_{1996-2000} = \sqrt[n-1]{i_{n/1}} = \sqrt[5-1]{i_{2000/1996}} = \sqrt[4]{0.34} \approx 0.76\]

    \[\overline{T}_{n} = (\overline{i}_{g} - 1) \cdot 100\% = (0.76 - 1) \cdot 100\% = -24\%\]

Czyli średnio w lata 1996-2000 produkcja co roku spadała o 24%.

Teraz przejdziemy do oszacowania wielkości produkcji w 2003.
Oszacowanie rozpoczyna się od roku 2000, w którym produkcja wynosiła 120 tys. sztuk, co zostało wyliczone w punkcie b).

Skoro średnioroczne tempo zmian wynosi 0.76, a mamy oszacować produkcje za 3 lata skorzystamy z poniższego działania:

    \[120 000 \cdot (\overline{i}_{g})^{3} = 120 000 \cdot 0.76^{3} \approx 120 000 \cdot 0.44 = 52 800\]

Odp: Jeśli średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000 nie ulegnie zmianie, to jeśli w 1996 roku produkcja wynosiła 300 tys. szt. to w 2003 roku będzie wynosiła 52 800 sztuk.

W tabeli została przedstawiona sprzedaży komputerów w latach 2009-2012 w pewnym sklepie. Oblicz i zinterpretuj indeksy łańcuchowe dla poszczególnych lat:

ROK2009(przed kampanią)201020112012
WARTOŚĆ SPRZEDAŻY10.00012.00011.00011.000

Poszczególne indeksy wynoszą:

    \[i_{2010/2009} = \frac{12}{10} = 1.2\]

    \[i_{2011/20010} = \frac{11}{12} = 0.92\]

    \[i_{2012/2011} = \frac{11}{11} = 1\]

Opiszmy jeszcze słownie indeksy łańcuchowe dotyczące kolejnych lat:

W roku 2010 produkcja wzrosła o (i2010/2009–1)⋅100%=0.2⋅100%=20% w odniesieniu do roku 2009.

W roku 2011 produkcja zmalała o 8% w odniesieniu do roku 2010.

W roku 2011 produkcja nie zmieniła swojej wartości w odniesieniu do roku 2011.

Średniookresowe tempo zmian w latach 2009-2012 wynosi:

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[3] { i_{2010/2009} \cdot i_{2011/2010} \cdot i_{2012/2011} } = \sqrt[3]{1.2 \cdot 0.92 \cdot 1} = \sqrt[3]{1.10} \approx 1.03\]

    \[T_{n} = (1.03 - 1)\cdot 100\% = 0.03 \cdot 100\% = 3\%\]

Czyli średnio co roku ilość sprzedanych komputerów wzrastała o 3%.

Dynamika wynagrodzeń w kolejnych kwartałach 1998r. była następująca:

kwartałyIIIIIIIV
Kwartał poprzedni =100%1211199580

a) Wynagrodzenia w II kwartale w stosunku do I kwartału ….. (wzrosły/zmalały) o …… procent.

b) Jeśli wynagrodzenie w II kwartale wynosiło 640 zł, to w IV kwartale wynosiło ono…….

c) Średniookresowe tempo zmian wynagrodzeń w 1998r. wynosi…., co oznacza, że …….

Ad a)

    \[i_{III/I} = i_{II/I} \cdot i_{III/II} = 1.19 \cdot 0.95 \approx 1.13\]

Wynagrodzenia w II kwartale w stosunku do I kwartału wzrosło o (1.131)100%= 13 procent.

Ad b)
Najpierw policzmy jak zmieniło się wynagrodzenie w IV kwartale względem II:

    \[i_{IV/II} = i_{III/II} \cdot i_{IV/III} = 0.95 \cdot 0.8 \approx 0.76\]

    \[640 \cdot i_{IV/II} = 640 \cdot 0.76 = 486,4\]

Jeśli wynagrodzenie w II kwartale wynosiło 640 zł, to w IV kwartale wynosiło ono 486,4 zł.

Ad c) 

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[n-1]{i_{n/n-1} \cdot i_{n-1/n-2} \cdot \ldots \cdot i_{2/1} \cdot i_{1/0}} =\]

    \[= \sqrt[4-1]{i_{IV/III} \cdot i_{III/II} \cdot i_{II/I} \cdot i_{I/0}} =\]

    \[\approx \sqrt[4]{1.21 \cdot 1.19 \cdot 0.95 \cdot 0.8} \approx \sqrt[3]{1.09} \approx 1.029\]

    \[T_{n} = (\overline{i}_{g} - 1)\cdot 100\% = (1.029 - 1)\cdot 100\% = 0.029 \cdot 100\% = 2.9\%\]

Średniookresowe tempo zmian wynagrodzeń w 1998r. wynosi 0.029 co oznacza, że średnio co okres wynagrodzenia wzrastały o 2.9%.

Indeksy - napis