Indeksy – zadania

Zadanie 1

Pewna firma prowadziła kampanię reklamową, którą została rozpoczęta w 2010 i trwała 3 lata. Wartość sprzedaży została przedstawiona w poniższej tabeli:

ROK2009(przed kampanią)201020112012
WARTOŚĆ SPRZEDAŻY10.00012.00011.00011.000

1) Oblicz i opisz słownie indeksy jednopodstawowe przyjmując za podstawę rok 2009.
2) Czy reklamę można ocenić za skuteczną?
3) Oblicz średniookresowe tempo zmian w okresie 2009-2012.

Rozwiązanie

Ad 1)Indeksy podstawowe wynoszą:

    \[i_{2010/2009} = \frac{12}{10} = 1.2\]

    \[i_{2011/2009} = \frac{11}{10} = 1.1\]

    \[i_{2012/2009} = \frac{11}{10} = 1.1\]

Opiszmy jeszcze słownie indeksy dotyczące kolejnych lat:

W 2010 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o (i2010/2009-1)⋅100%=0.2⋅100%=20%

W 2011 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o 10%.

W 2012 roku wartość sprzedaży względem 2009 roku wzrosła o 10%.

Ad2)
To zależy od samych założeń kampanii. Jeżeli naszym cele było zwiększenie sprzedaży do 15tys. to kampanie należałoby uznać za nieskuteczną.
Zwróćmy uwagę, że wszystkie indeksy jedno podstawowe są większe od 1, czyli w każdym roku wartość była większa niż w roku 2009 czyli możemy założyć, że nasza kampania reklamowa była skuteczna.

Ad3)
Średniookresowe tempo zmian w latach 2009-2012 wynosi:

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[n-1]{i_{n/1}} = \sqrt[3]{i_{2012/2009}} = \sqrt[3]{1.1} \approx 1.03\]

    \[T_{n} = 0.03 \cdot 100\% = 3\%\]

Czyli średnio co roku liczba sprzedanych komputerów wzrastała o 3%.

Zadanie 2

Dynamikę produkcji budzików w latach 1994-2000 charakteryzują następujące indeksy (rok 1993=1): 3.02, 3.71, 3.50, 1.52, 1.28, 1.40, 1.20.

a) Produkcja budzików w roku 1998 w stosunku do roku 1995 …… (wzrosła/zmalała) o ….. procent.

b) Jeśli produkcja w 1996 roku wynosiła 300 tys. szt. to w roku 2000 wynosiła ona…..

c) Jeśli średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000 nie ulegnie zmianie, to jeśli w 1996 roku produkcja wynosiła 300 tys. szt. to w 2003 roku będzie wynosiła……

Rozwiązanie

[FMP]

Najpierw przepiszmy dane to tabelki by łatwiej było pracować:

Rok1994199519961997199819992000
1993=13.023.713.501.521.281.401.20

Ad a)

    \[i_{1995/1993} = 3.71, i_{1998/1993} = 1.28\]

Ponieważ i1995/1993>i1998/1993 to produkcja budzików w 1998 była mniejsza niż w 1995. Teraz policzymy o ile była mniejsza:

    \[\frac{i_{1998/1993}}{i_{1995/1993}} = \frac{1.28}{3.71} \approx 0.35\]

Czyli produkcja w 1998 stanowiła 35% produkcji z 1995 co oznacza, że produkcja spadła o 100% – 35% = 65%.

Odp: Produkcja budzików w roku 1998 w stosunku do roku 1995 zmalała o 65% procent.

Ad b)

    \[i_{1996/1993} = 3.50, i_{2000/1993} = 1.20\]

Możemy to wyliczyć ze zwykłej proporcji:

3.50 —————– 350 000 sztuk
1.20 —————– x sztuk

    \[3.50 \cdot x = 1.20 \cdot 350 000 = 420 000\]

    \[x = \frac{420 000}{3.50} = 120 000\]

Odp: Jeśli produkcja w 1996 roku wynosiła 300 tys. szt. to w roku 2000 wynosiła ona 120 tys. sztuk.

Ad c)
Najpierw musimy obliczyć średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000:

    \[i_{1996/1993} = 3.50, i_{2000/1993} = 1.20\]

Tak jak w przypadku punktu a) produkcja zmniejszyła się. Policzmy zatem o ile się zmniejszyła:

    \[\frac{i_{2000/1993}}{i_{1996/1993}} = \frac{1.20}{3.50} \approx 0.34\]

Czyli gdybyśmy jako podstawę przyjęli rok 1996 to i2000/1996=0.34 Teraz przejdziemy do policzenia średniookresowego tempa zmian dla lat 1996-2000:

    \[\overline{i}_{1996-2000} = \sqrt[n-1]{i_{n/1}} = \sqrt[5-1]{i_{2000/1996}} = \sqrt[4]{0.34} \approx 0.76\]

    \[\overline{T}_{n} = (\overline{i}_{g} - 1) \cdot 100\% = (0.76 - 1) \cdot 100\% = -24\%\]

Czyli średnio w lata 1996-2000 produkcja co roku spadała o 24%.

Teraz przejdziemy do oszacowania wielkości produkcji w 2003.
Oszacowanie rozpoczyna się od roku 2000, w którym produkcja wynosiła 120 tys. sztuk, co zostało wyliczone w punkcie b).

Skoro średnioroczne tempo zmian wynosi 0.76, a mamy oszacować produkcje za 3 lata skorzystamy z poniższego działania:

    \[120 000 \cdot (\overline{i}_{g})^{3} = 120 000 \cdot 0.76^{3} \approx 120 000 \cdot 0.44 = 52 800\]

Odp: Jeśli średnioroczne tempo zmian z lat 1996-2000 nie ulegnie zmianie, to jeśli w 1996 roku produkcja wynosiła 300 tys. szt. to w 2003 roku będzie wynosiła 52 800 sztuk.

[/FMP]

Zadanie 3

W tabeli została przedstawiona sprzedaży komputerów w latach 2009-2012 w pewnym sklepie. Oblicz i zinterpretuj indeksy łańcuchowe dla poszczególnych lat:

ROK2009(przed kampanią)201020112012
WARTOŚĆ SPRZEDAŻY10.00012.00011.00011.000

Rozwiązanie

[FMP]

Poszczególne indeksy wynoszą:

    \[i_{2010/2009} = \frac{12}{10} = 1.2\]

    \[i_{2011/20010} = \frac{11}{12} = 0.92\]

    \[i_{2012/2011} = \frac{11}{11} = 1\]

Opiszmy jeszcze słownie indeksy łańcuchowe dotyczące kolejnych lat:

W roku 2010 produkcja wzrosła o (i2010/2009–1)⋅100%=0.2⋅100%=20% w odniesieniu do roku 2009.

W roku 2011 produkcja zmalała o 8% w odniesieniu do roku 2010.

W roku 2011 produkcja nie zmieniła swojej wartości w odniesieniu do roku 2011.

Średniookresowe tempo zmian w latach 2009-2012 wynosi:

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[3] { i_{2010/2009} \cdot i_{2011/2010} \cdot i_{2012/2011} } = \sqrt[3]{1.2 \cdot 0.92 \cdot 1} = \sqrt[3]{1.10} \approx 1.03\]

    \[T_{n} = (1.03 - 1)\cdot 100\% = 0.03 \cdot 100\% = 3\%\]

Czyli średnio co roku ilość sprzedanych komputerów wzrastała o 3%.

[/FMP]

Zadanie 4

Dynamika wynagrodzeń w kolejnych kwartałach 1998r. była następująca:

kwartałyIIIIIIIV
Kwartał poprzedni =100%1211199580

a) Wynagrodzenia w II kwartale w stosunku do I kwartału ….. (wzrosły/zmalały) o …… procent.

b) Jeśli wynagrodzenie w II kwartale wynosiło 640 zł, to w IV kwartale wynosiło ono…….

c) Średniookresowe tempo zmian wynagrodzeń w 1998r. wynosi…., co oznacza, że …….

Rozwiązanie

[FMP]

Ad a)

    \[i_{III/I} = i_{II/I} \cdot i_{III/II} = 1.19 \cdot 0.95 \approx 1.13\]

Wynagrodzenia w II kwartale w stosunku do I kwartału wzrosło o (1.13–1)⋅100%= 13 procent.

Ad b)
Najpierw policzmy jak zmieniło się wynagrodzenie w IV kwartale względem II:

    \[i_{IV/II} = i_{III/II} \cdot i_{IV/III} = 0.95 \cdot 0.8 \approx 0.76\]

    \[640 \cdot i_{IV/II} = 640 \cdot 0.76 = 486,4\]

Jeśli wynagrodzenie w II kwartale wynosiło 640 zł, to w IV kwartale wynosiło ono 486,4 zł.

Ad c) 

    \[\overline{i}_{g} = \sqrt[n-1]{i_{n/n-1} \cdot i_{n-1/n-2} \cdot \ldots \cdot i_{2/1} \cdot i_{1/0}} =\]

    \[= \sqrt[4-1]{i_{IV/III} \cdot i_{III/II} \cdot i_{II/I} \cdot i_{I/0}} =\]

    \[\approx \sqrt[4]{1.21 \cdot 1.19 \cdot 0.95 \cdot 0.8} \approx \sqrt[3]{1.09} \approx 1.029\]

    \[T_{n} = (\overline{i}_{g} - 1)\cdot 100\% = (1.029 - 1)\cdot 100\% = 0.029 \cdot 100\% = 2.9\%\]

Średniookresowe tempo zmian wynagrodzeń w 1998r. wynosi 0.029 co oznacza, że średnio co okres wynagrodzenia wzrastały o 2.9%.

[/FMP]

Zadanie 5

Dane są wartości przeciętnego dalszego trwania życia w Polsce dla niektórych lat, wyrażające oczekiwaną długość trwania życia osoby nowonarodzonej :

Rok1990199520002005
Mężczyźni66,267,669,770,8
Kobiety75,276,478,079,4

Wiedząc, że w 2010 roku przeciętne dalsze trwanie życia dla mężczyzn wzrosło o 5,9 roku w stosunku do 1990 roku, natomiast dla kobiet o 5,4 roku (także w stosunku do 1990 roku), odpowiedzieć, dla której płci nastąpił większy postęp w wydłużaniu się przeciętnego dalszego trwania życia w ciągu 20 lat ? Czy formułując odpowiedź porównujemy zmiany absolutne czy względne ?

Rozwiązanie

[FMP]

    \[\frac{5,9}{66,2}=0,089 (8,9\%) - dla\; mezczyzn\]

    \[\frac{5,4}{75,2}=0,0718 (7,18\%) - dla\; kobiet\]

Większy postęp nastąpił u mężczyzn, porównujemy miary względne.

[/FMP]

Zadanie 6

Poniżej podane zostały opublikowane przez GUS wskaźniki cen towarów i usług konsumpcyjnych obrazujące poziom inflacji w okresie transformacji ustrojowej w Polsce (rok poprzedni =100)

Rok1986198719881989199019911992199319941995
Wskaźniki cen117,7125,2160,2351,1685,8170,3143,0135,3132,2127,8

a) O ile procent wzrosły ceny w 1990 roku w stosunku do roku poprzedniego ? Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że ceny w 1990 roku w stosunku do roku poprzedniego wzrosły średnio blisko siedmiokrotnie ?

b) Jakie było średnioroczne tempo zmian inflacji w latach 1991-1995?

Rozwiązanie

[FMP]

a) Ceny wzrosły o 585,5%, także stwierdzenie jest prawdziwe

b) 

    \[\sqrt[4]{\frac{127,8}{685,8}}-1=-0,349\]

W latach 1991-1995 inflacja malała średnio o 34,5% rocznie

[/FMP]

Zadanie 7

W rocznikach GUS można znaleźć informację o wielkości współczynnika zgonów niemowląt (na 1000 urodzeń żywych) w Polsce:

Rok20042005200620072008200920102011
Współczynnik zgonów niemowląt6,86,46,06,05,65,65,04,7

a) O jaki procent zmienił się badany współczynnik w 2011 roku w stosunku do roku poprzedniego ?

b) O jaki procent badany współczynnik w 2010 był wyższy niż w roku 2011? Skąd wynika różnica odpowiedzi w stosunku do poprzedniego podpunktu ?

c) O jaki procent zmienił się współczynnik w latach 2010 i 2011 w stosunku do roku 2004?

d) Czy średnioroczne tempo spadku współczynnika umieralności niemowląt było szybsze w latach 2004-2006 czy w latach 2009-2011?

e) Jakiego współczynnika można się spodziewać w 2013 roku, jeśli utrzyma się tempo spadku z lat 2009-2011?

Rozwiązanie

[FMP]

a) 

    \[\frac{4,7}{5}=0,94 \%\; -\; spadek\; o\; 6\%\]

b)

    \[\frac{5}{4,7}=1,064\; -wzrost\; o\; 6,4\%\]

c)

    \[\frac{5}{6,8}-1=-0,265\; -\; w\; 2010\; roku\; spadek\; o\; 26,5\%\;\]

    \[\frac{4,7}{6,8}-1=-0,309\; -\; w\; 2011\; roku\; spadek\; o\; 30,9\%\;\]

d)

    \[2004-2006:\sqrt{\frac{6}{6,8}}-1=-0,06\]

    \[2009-2011:\sqrt{\frac{4,7}{5,6}}-1=-0,084\]

Średnioroczne tempo spadku było szybsze w latach 2009-2011

e)\left ( \sqrt{\frac{4,7}{5,6}} \right )^{2}*4,7=3,94

Można się spodziewać współczynnika 3,94

[/FMP]

Zadanie 8

Poniższa tabela przedstawia wyznaczone na podstawie danych Eurostatu przyrosty liczby ludności w 27 krajach Unii Europejskiej:

Rok20082009201020112012
Rok poprzedni = 11,00481,00401,00281,00261,0026

a) W jakim stopniu liczba ludności w 2010 roku różniła się w stosunku do 2009 roku, a w jakim w stosunku do 2007 roku?

b) Jak zmieniała się liczba ludności UE w poszczególnych latach w porównaniu z rokiem 2008? Zinterpretować jeden z obliczonych indeksów.

c) Jakie było średnioroczne tempo zmian ludności w latach 2008-2012?

d) W którym roku liczba mieszkańców 27 krajów UE osiągnie 510mln, przy założeniu utrzymania się średniego tempa zmian z lat 2008-2012, jeśli w 2012 roku 27 krajów Unii zamieszkiwało 503,7mln  osób?

Rozwiązanie

[FMP]

a) W 2010 roku ludność UE była większa o 0,28% w porównaniu do 2009 roku

    \[i_{2010/2007}=1,0048*1,004*1,0028=1,01164\]

W 2010 roku ludność UE była większa o 1,16% w porównaniu do 2007 roku

b)

200810%
20091,0040,4%
20101,004*1,0028=1,00680,68%
20111,0068*1,0026=1,00940,94%
20121,0094*1,0026=1,01211,21%

W 2011 roku ludność UE była większa o 0,94% w porównaniu do 2008 roku

c)

    \[\sqrt[4]{1,0121}=1,003\]

Średnioroczne tempo zmian ludności UE w latach 2008-2012 wynosiło 0,3%

d)

    \[503,7*1,003^{x}=510\]

    \[1,003^{x}=1,0125\]

    \[ln\left ( 1,003^{x} \right )=ln\left ( 1,0125 \right )\]

    \[x=\frac{ln\left ( 1,0125 \right )}{ln\left ( 1,003 \right )}\approx 4,147\approx 5\]

    \[2012+5=2017\]

Liczba mieszkańców UE osiągnie 510 mln w 2017 roku

[/FMP]

Zadanie 9

Na podstawie danych o długości autostrad w Polsce w latach 2006-2010 wyznaczono względne przyrosty jednopodstawowe (w procentach):

Rok2007200820092010
Przyrosty względne w stosunku do 2006 roku0,015,428,129,3

a) Czy prawdziwe jest twierdzenie, że roczny przyrost długości autostrad w Polsce był coraz słabszy ? Obliczyć odpowiednie wskaźniki i zinterpretować jeden z nich

b) Jakie było średnie tempo zmian długości autostrad w latach 2006-2010?

c) Określić absolutne przyrosty długości autostrad w badanym okresie, wiedząc, że w 2008 roku było ich w sumie 765km.

Rozwiązanie

[FMP]

a)

2008: 1,154/1=1,154
2009: 1,281/1,154=1,11 – w porównaniu do roku poprzedniego długość wzrosła o 11%
2010: 1,293/1,281=1,009

rok2007200820092010
Przyrosty względne0,015,428,129,3
Indeksy łańcuchowe11,1541,111,009

Przyrost był coraz wolniejszy

b)

    \[\sqrt[4]{1*1,154*1,11*1,009}=1,066\; -wzrost\;srednio\; o\; 6,6\%\; rocznie\]

c)
Długości autostrad:
2006: 663/1=663
2007: 765/1,154=663
2008: 765
2009: 765*1,11=849
2010: 849*1,009=857

Przyrosty:
2006: 0
2007: 663-663=0
2008: 765-663=102
2009: 849-765=84
2010: 857-849=8

[/FMP]

Zadanie 10

Na podstawie poniższych danych ocenić, w jakim stopniu w maju na zmianę wartości akcji trzech spółek zakupionych przez pewnego inwestora w lutym miały wpływ zmiany cen (w zł), a w jakim ilości zakupionych akcji (w szt.).

SpółkaIlość akcji Cena akcji 
lutymajlutymaj
A10001500100110
B10005004040
C1000700108

Rozwiązanie

[FMP]

    \[I_{w}=\frac{110*1500+40*500+8*700}{1000*100+1000*40+1000*10}=\frac{165000+20000+5600}{100000+40000+10000}=1,271\]

Na skutek zmian ilości i cen wartość portfela akcji wzrosła o 27,1%

    \[_{L}I_{P}=\frac{110*1000+40*1000+8*1000}{150000}=\frac{110000+40000+8000}{150000}=1,053\]

Zakładając stałą ilość akcji taką jak w lutym, wartość portfela wzrosłaby w maju łącznie o średnio 5,3% na skutek zmian cen

    \[_{P}I_{Q}=\frac{1,271}{1,053}=1,207\]

Zakładając wielkość cen taką jak w maju, na skutek zmiany ilości wartość wzrosłaby łącznie o 20,7% w maju w stosunku do lutego

    \[_{L}I_{Q}=\frac{100*1500+40*500+10*700}{150000}=\frac{150000+20000+7000}{150000}=1,18\]

Zakładając stałe ceny akcji takie jak w lutym, wartość portfela wzrosłaby łącznie o średnio 18% na skutek zmiany ilości w maju w stosunku do lutego

    \[_{P}I_{P}=\frac{1,271}{1,18}=1,077\]

Zakładając ilość akcji taką jak w maju, wartość portfela wzrosłaby łącznie o średnio 7,7% na skutek zmiany cen w maju w stosunku do lutego

[/FMP]

Zadanie 11

Wartość środków trwałych (w mln zł) w pewnej firmie w latach 2008 i 2012 prezentuje tabela:

Środki trwałeWartość w cenach bieżących Wartość w cenach stałych z 2008r
2008r2012r2012r
Budynki748880
Maszyny223025
Środki transportu465
Razem100124110

a) Który ze składników środków trwałych charakteryzował się najszybszym średniorocznym tempem zmian wartości w latach 2008-2012 ?

b) Jak zmieniła się łączna wartość środków trwałych w cenach bieżących w roku 2012 w stosunku do roku 2008?

c) W jakim stopniu zmiany cen, a w jakim – zmiany ilości miały wpływ na zmianę łącznej wartości środków trwałych w roku 2012 w stosunku do 2008?

Rozwiązanie

[FMP]

a) 

    \[\sqrt[4]{\frac{88}{74}}=1,044\]

    \[\sqrt[4]{\frac{30}{22}}=1,081\]

    \[\sqrt[4]{\frac{6}{4}}=1,107\]

Najszybsze tempo zmian dla środków transportu

b)

    \[I_{w}=\frac{124}{100}=1,24\]

c)

    \[_{L}I_{q}=\frac{110}{100}=1,1\]

    \[_{p}I_{p}=\frac{124}{110}=1,127\]

Zakładając stałe ceny z 2008 roku, wartość środków trwałych wzrosłaby łącznie średnio o 10% na skutek zmian ilości

Zakładając ilość środków taką jak w 2012, wielkość środków trwałych wzrosłaby łącznie o średnio 12,7% na skutek zmian cen

[/FMP]

Zadanie 12

    \[I_{w}=1,12\]

    \[_{L}I_{P}=\frac{1,15*0,5*50000+0,4*50000+0,95*0,1*50000}{50000}=\frac{28750+20000+4750}{50000}=1,07\]

Gdyby założyć, że ilość akcji była jednakowa i taka jak na początku okresu, to wartość akcji wzrosłaby o 7% na skutek zmiany cen

    \[_{p}I_{q}=\frac{1,12}{1,07}=1,047\]

Gdyby założyć, że ceny były jednakowe i takie jak pod koniec okresu, to wartość portfela łącznie wzrosłaby o średnio 4,7% w stosunku do początku okresu na skutek zmian ilości

Rozwiązanie

[FMP]

a)

    \[\sqrt[4]{\frac{1,12}{1}}=1,029\]

Cena rosła przeciętnie o 2,9% miesięcznie

b)

    \[\sum p_{0}q_{0}=600\]

    \[I_{w}=\frac{700}{600}=1,167\]

    \[Sopocki:1,12*q_{1}=3005\Rightarrow q_{1}=268\]

    \[Krynicki:1,1*q_{1}=400\Rightarrow q_{1}=363,6\]

    \[_{p}I_{p}=\frac{700}{268+363,6}=1,108\]

Zakładając wielkość sprzedaży ze stycznia wartość sprzedaży zwiększyła się łącznie średnio o 10,8% na skutek zmian cen

    \[_{L}I_{q}=\frac{1,167}{1,108}=1,053\]

Zakładając wielkość cen ze stycznia wartość sprzedaży zwiększyła się łącznie średnio o 5,3% na skutek zmian ilośći

[/FMP]

Zadanie 13

W pewnej mleczarni analizowano obroty za pięć miesięcy bieżącego roku i uzyskano następujące informacje o cenach i wartości sprzedaży (w tys. zł) dwóch gatunków sera:

Gatunek seraZmiana cen w stosunku do styczniaWartość sprzedaży maj
styczeńlutymarzeckwiecieńmaj
Sopocki1,001,031,061,101,12300
Krynicki1,001,021,051,071,10400

a) Jakie było przeciętne miesięczne tempo zmian cen sera sopockiego w okresie styczeń-maj br.?

b) Wiedząc, że ogólna wartość sprzedaży obu gatunków sera łącznie w styczniu wynosiła 600 tyś. zł, odpowiedzieć na pytanie, jaki wpływ na zmianę wartości sprzedaży w maju w stosunku do stycznia miały zmiany cen, a jaki zmiany wielkości sprzedaży?

Rozwiązanie

[FMP]

a)

    \[\sqrt[4]{\frac{1,12}{1}}=1,029\]

Cena rosła przeciętnie o 2,9% miesięcznie

b)

    \[\sum p_{0}q_{0}=600\]

    \[I_{w}=\frac{700}{600}=1,167\]

    \[Sopocki:1,12*q_{1}=3005\Rightarrow q_{1}=268\]

    \[Krynicki:1,1*q_{1}=400\Rightarrow q_{1}=363,6\]

    \[_{p}I_{p}=\frac{700}{268+363,6}=1,108\]

Zakładając wielkość sprzedaży ze stycznia wartość sprzedaży zwiększyła się łącznie średnio o 10,8% na skutek zmian cen

    \[_{L}I_{q}=\frac{1,167}{1,108}=1,053\]

Zakładając wielkość cen ze stycznia wartość sprzedaży zwiększyła się łącznie średnio o 5,3% na skutek zmian ilośći

[/FMP]

Zadanie 14

Wartość wydatków na mięso i wędliny w pewnym gospodarstwie domowym w lutym 2012 roku wynosiła 400 zł. Wiedząc, że ma ten sam koszyk (co do ilości) mięsa i wędlin rok później gospodarstwo wydałoby 450 zł, obliczyć i zinterpretować odpowiedni agregatowy indeks cen mięsa i wędlin. Co silniej, zmiany cen czy ilości, wpłynęło na zmianę wydatków gospodarstwo domowego na mięso i wędliny, skoro wiadomo, że w lutym 2013 gospodarstwo wydało na ten cel 440 zł.

Rozwiązanie

[FMP]

    \[ p_{0}q_{0}=400\]

    \[ p_{1}q_{0}=450\]

    \[ p_{1}q_{1}=440\]

    \[I_{w}=\frac{440}{400}=1,1\]

    \[_{L}I_{p}=\frac{450}{400}=1,125\]

Zakładając, że wielkość sprzedaży w obu miesiącach była jednakowa i taka jak w lutym 2012, to ceny koszyka wzrosłyby średnio o 12,5

    \[_{p}I_{q}=\frac{1,1}{1,125}=0,978\]

Zakładając, że wielkość cen była jednakowa i taka jak w lutym 2013, to wielkość sprzedaży spadłaby łącznie o 2,2%

[/FMP]

Zadanie 15

Wartość skupionego złomu (miedź, nikiel, aluminium) w pewnym punkcie skupu w sierpniu  wynosiła 40 tyś. zł. Rok później skupiono tam miedzi za 12 tyś. zł, niklu za 9 tyś zł, a aluminium za 21 tyś zł. W sierpniu 2012 roku łańcuchowy indeks cen ( w stosunku do sierpnia 2011) wynosił dla miedzi 1,15, dla niklu 1,1, dla aluminium 1,05. Ile wynosił agregatowy indeks ilości? W jakim stopniu na zmianę wartości skupu wpłynęły zmiany cen, a w jakim zmiany ilości skupionego złomu?

Rozwiązanie

[FMP]

    \[\sum p_{0}q_{0}=40\]

    \[\sum p_{1}q_{1}=12+9+21=42\]

    \[\sum p_{0}q_{1}=\frac{12}{1,15}+\frac{9}{1,1}+\frac{21}{1,05}=38,6\]

    \[_{L}I_{p}=\frac{38,6}{40}=0,9645\]

Zakładając stałe ceny z sierpnia 2011, można stwierdzić, że na skutek zmian ilości wartość złomu spadłaby o 3,6%

    \[_{p}I_{p}=\frac{42}{38,6}=1,089\]

Zakładając stałe ilości z 2 sierpnia 2012 możemy stwierdzić, że wartość złomu wzrosłaby o 8,9% na skutek zmian cen

[/FMP]

Zadanie 16

Badając dynamikę zmian kosztów utrzymania w gospodarstwach domowych pewnego regionu w zakresie nośników energii, ustalono, że tę grupę wydatków reprezentować będą opłaty za węgiel, gaz i prąd. W badanym okresie cena węgla nie uległa zmianie, natomiast zarówno cena gazu, jak i prądu wzrosła o 10%. Jak zmieniły się w rozpatrywanym okresie koszty utrzymania w zakresie badanej wartości wydatków na te trzy różne rodzaje energii, jeżeli wiadomo, że udział wartości wydatków na węgiel w łącznej wartości wydatków na te trzy różne rodzaje energii zmalał z 38% w okresie podstawowym do 35% w okresie badanym, natomiast udział wydatków na prąd w obu okresach stanowił 30% ogółu wydatków na energię. Zastosować wszystkie poznane formuły indeksowe.

Rozwiązanie

[FMP]

 węgielgazprąd 
okres podstawowy1*0,381*0,321*0,30
okres badany1*0,351,1*0,351,1*0,31

    \[_{L}I_{p}=\frac{\sum p_{1}q_{0}}{\sum p_{0}q_{0}}=\frac{1*0,38+1,1*0,32+1,1*0,3}{1*0,38+1*0,32+1*0,3}=1,062\]

Zakładając stałe ilości z okresu podstawowego, wartość wzrosła o 6,2% na skutek zmian cen

    \[_{p}I_{p}=\frac{\sum p_{1}q_{1}}{\sum p_{0}q_{1}}=\frac{1*0,35+1,1*0,35+1,1*0,3}{1*0,35+1*0,35+1*0,3}=1,065\]

Zakładając stałe ilości z okresu badanego, wartość wzrosła o 6,5% na skutek zmian cen

[/FMP]

Zadanie 17

Wartość eksportu obuwia (męskie, damskie i dziecięce) pewnego producenta w 2008 roku wynosiła 5mln zł. W 2010 roku na skutek kryzysu ekonomicznego wartość ta spadła o 10%, a udział poszczególnych rodzajów obuwia w tej wartości wynosił odpowiednio 20%, 60%, 20%. Wiedząc, że w tym okresie nastąpił spadek wielkości eksportu obuwia męskiego o 25%, damskiego i dziecięcego – o 15%, odpowiedzieć, jak zmiany wielkości eksportu, a jak zmiany cen w latach 2008-2010 wpływały na zmianę wartości eksportu tego producenta.

Rozwiązanie

[FMP]

    \[I_{w}=0,9\]

    \[\sum p_{0}q_{0}=5(mln)\]

    \[\sum p_{1}q_{1}=4,5(mln)\]

    \[0,2*4,5=0,9(mln)-\; wartosc\; meskiego\; i\; dzieciecego\; obuwia\; w\; 2010r\]

    \[0,6*4,5=2,7(mln)-\; wartosc\; damskiego\; obuwia\; w\; 2010r\]

    \[0,9=0,75x\]

    \[x=1,2\]

    \[2,7=0,85y\]

    \[y=3,18\]

    \[0,9=0,85z\]

    \[z=1,06\]

    \[wartosci \; q_{0}p_{1}\left\{\begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix}\right.\]

    \[_{L}I_{p}=\frac{1,2+3,18+1,06}{5}=1,088\]

Zakładając stałą ilość eksportu z 2008 roku wartość eksportu wzrosła łącznie o 8,8%

    \[_{p}I_{q}=\frac{0,9}{1,088}=0,827\]

Zakładając stałe ceny z 2010 roku wartość eksportu spadła łącznie o 17,3% na skutek zmiany ilości

[/FMP]

Indeksy statystyczne

Podstawowymi miernikami zmian (dynamiki) poziomu zmiennej yt (t∈T>0) są:

  • absolutne przyrosty wartości yt w okresie (t-1, t):
    Δt =yt-yt-1
  • względne przyrosty wartości y, w okresie (t-1, t):
    δt=Δt/yt*

Jeżeli w każdym momencie t jako moment odniesienia mamy t*=t-1 tzn. podstawą porównania jest wartość zjawiska w momencie poprzednim to takie względne przyrosty nazywamy łańcuchowymi. Jeśli natomiast podstawa porównania jest stała, to takie względne przyrosty nazywamy jednopodstawowymi.
O ile absolutne przyrosty Δ informują o bezwzględnych zmianach w poziomie zjawiska w czasie, to przyrosty względne δ są miarą tempa zmian.

Obszerną klasę mierników dynamiki zjawisk stanowią wskaźniki (indeksy) dynamiki wartości y, zdefiniowane ogólnie jako:

    \[i_{t/t*}=\frac{y_{t}}{y_{t*}}\]

Jeśli podstawą jest zawsze moment poprzedni, to dla każdego yt, indeksy dynamiki są nazywane łańcuchowymi. Jeżeli natomiast podstawa porównania jest stała dla wszystkich wartości to takie indeksy dynamiki są nazywane jednopodstawowymi.
Mając dany ciąg indeksów(jednopodstawowych lub łańcuchowych), można przez przeliczenia dokonać zmiany podstaw tych indeksów.

Agregatowe indeksy wartości, ilości i cen

Chcąc ocenić dynamikę zjawiska w niejednorodnej zbiorowości (np. dynamikę cen różnych artykułów, dynamikę spożycia różnych dóbr, dynamikę wielkości produkcji nieporównywalnych produktów itd.), należy posłużyć się indeksami agregatowymi (zespołowymi), który w odpowiedni sposób wyrażałby łączne zmiany zachodzące w czasie całej zbiorowości. Ze sformułowaniem takiego indeksu wiąże się kwestia znalezienia poprawnego sposobu agregacji danych dotyczących jednostek, które składają się na taki niejednorodny zbiór. Tutaj nie będziemy zajmować trudnym problemem; w badaniach zjawisk gospodarczych istnieje odrębny dział poświęcony teorii agregacji i jej praktycznym metodom.
Zauważamy jedynie, że jedną z możliwych metod agregacji jest metoda polegająca na wyznaczeniu agregatowego indeksu jako średniej z indeksów indywidualnych. Wtedy problem poprawnego wyznaczania takiego indeksu sprowadza się do znalezienia odpowiedniego systemu wag służących do wyznaczenia tej średniej.
Podstawowy warunek poprawności sformułowania indeksu agregatowego jako średniej z indeksów indywidualnych sprowadza się do spełniania tzw. testu proporcjonalności. Ogólnie, zgodnie z tym warunkiem wymaga się, aby wówczas, gdy wszystkie indeksy indywidualne są identyczne, agregatowy indeks przyjmował tę samą wartość; w innym przypadku jest on zawarty pomiędzy najmniejszym i największym indeksem indywidualnym.

Agregatowy indeks, który określa wpływ zmian cen na dynamikę wartości(tzn. indeks, w którym stałe są ilości), nazywany jest indeksem agregatowym cen, natomiast agregatowy indeks określający wpływ zmian ilości na dynamikę wartości(przy przyjęciu cen stałych) – agregatowym indeksem ilości.

Agregatowy indeks cen według formuły Laspeyresa (Paaschego) informuje o tym, jak zmieniłaby się łączna wartość wszystkich towarów w momencie badanym w stosunku do momentu podstawowego, gdyby ilości poszczególnych towarów były w obu porównywanych momentach jednakowe oraz takie jak w momencie podstawowym(badanym), natomiast zmiana wartości wystąpiłaby tylko i wyłącznie wskutek zmian cen.

Agregatowy indeks ilości ma dwojaką interpretację. Po pierwsze, informuje jak zmieniałaby się globalna wartość wszystkich towarów w momencie badanym w stosunku do momentu podstawowego, gdyby w obu porównywanych momentach ceny były niezmienne i takie jak w momencie podstawowym (w przypadku formuły Laspeyresa) lub badanym (w przypadku formuły Paaschego), a zmiana wartości nastąpiłaby tylko i wyłącznie na skutek zmian ilości poszczególnych towarów. Po drugie, agregatowy indeks ilości jest przeciętnym indywidualnym indeksem ilości, a więc informuje o przeciętnych zmianach ilości poszczególnych towarów w obu porównywanych momentach.

“Indeksy – zadania” to część działu “statystyka zadania z rozwiązaniami”.
Znajdują się tutaj zadania ze statystyki opisowej:
-indeksy agregatowe zadania
-indeksy jednopodstawowe zadania

Indeksy - napis