Estymacja – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 2-28 należy wykupić abonament

W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych. Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty. Przyjmując poziom ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Mamy tu zwroty: zbudować przedział ufności oraz poziom ufności  – w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W zakładzie pracuje 300 robotników przy montażu urządzeń elektrycznych.

Dowiadujemy się, że w zakładzie pracuje 300 robotników, ale nie ma kompletnie nic na temat losowania próby, także przyjmujemy, że jest to liczebność populacji  .

Wylosowano 50 robotników, dla których średni czas montażu wynosił 18 minut, a odchylenie standardowe 2,6 minuty.

W tym momencie zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o wylosowaniu konkretnej ilości pracowników, tak więc liczebność próby to  . Podano też średni czas montażu dla próby czyli  i odchylenie standardowe  . Oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby.

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Podano poziom (współczynnik) ufności  . Od razu wyznaczamy  .

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu czasu montażu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać  – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

300 robotników pracujących przy montażu urządzeń elektrycznych

PRÓBA

50 wybranych robotników

 – rozkład normalny o nieznanej średniej  i nieznanym odchyleniu standardowym 

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując poziom ufności  zbudować przedział ufności pokrywający średni czas montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników, jeżeli zakłada się normalność rozkładu czasu montażu.

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika1

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy  i  czyli  .

grafika4

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnia wartość czasu montażu urządzeń elektrycznych dla wszystkich pracowników mieści się w przedziale od 17,28 do 18,72 minut.

Przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 czteroosobowych gospodarstw domowych wynosiło 16 kg, przy wariancji 16 (kg)2. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę we wszystkich gospodarstwach domowych.

Wybierz pakiet:
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
Abonament 30 dni
Abonament 90dni

Abonament 30 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 30dni
29,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość

Abonament 90 dni

Dostęp do wszystkich treści serwisu przez 90dni
49,90zł PLN
Sposób zapłaty: Dotpay
Sprawdź
Odblokuj zawartość
Anuluj

Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł. Otrzymano przedział ufności 135,08<m<142,92. Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?

a) 0,999 b) 0,99 c) 0,95 d) 0,90

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych. Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową. Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież  zł. Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji  . Należy:

a) wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności  ,

b) ustalić względny stopień precyzji oszacowania nieznanego parametru  .

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu. Ustal względny stopień precyzji szacunku nieznanego parametru.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Dla 100 największych polskich firm uzyskano średni roczny zysk brutto 154 mln zł oraz odchylenie  standardowe zysku brutto równe 16,2 mln złotych. Przy współczynniku ufności 0,95, obliczyć względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej zysku brutto wszystkich polskich firm.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Jeżeli w przypadku tzw. dużej liczebnie próby losowej, poziom ufności wzrasta od 0,95 do 0,99, to która z par wyników względnej precyzji oceny wartości oczekiwanej jest jedynie możliwa?

a) 2,632% – 2% b) 2% – 2,632% c) 2,632% – 2,632% d) 2% – 2%

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W celu wyznaczenia wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w pewnym punkcie terenowym, dokonano 6 niezależnych pomiarów tej składowej natężenia pola magnetycznego i otrzymano następujące wyniki (w Oe): 0,195; 0,210; 0,189; 0,203; 0,198; 0,205. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla średniej wartości składowej poziomej natężenia pola magnetycznego ziemi w tym punkcie.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej. Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4. Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności 

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):

Powierzchnia mieszkalna

Liczba mieszkań

15 – 25

10

25 – 35

25

35 – 45

40

45 – 55

30

55 – 65

10

65 – 75

5

Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbuduj przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu oszacowania średniej powierzchni mieszkań powstałych w 2001 w Gdańsku, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym roku mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej ( w m2):”

Powierzchnia mieszkalna

Liczba mieszkań

15 – 25

10

25 – 35

25

35 – 45

40

45 – 55

30

55 – 65

10

65 – 75

5

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to  mieszkań i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią  , wariancję  i odchylenie standardowe  (lub  ,  ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90.”

Podano też współczynnik ufności  , od razu wyznaczamy  .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

mieszkania wybudowane w 2001 w Gdańsku

PRÓBA

120 wybranych mieszkań

 dane tabelaryczne  – (można obliczyć średnią  , wariancję  , odchylenie standardowe  )

 – współczynnik ufności, 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zbuduj przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0,90. ”

Wyrażenie średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej  z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy  jest znana i jaka jest liczebność próby.  nie jest znana, a liczebność próby  jest większa od 30 (  ), zatem wybieramy model III.

grafika2

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór  konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby  i odchylenia standardowego  . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (powierzchnia mieszkalna) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

 – warianty obserwacji

(powierzchnia mieszkalna)

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

(liczba mieszkań)

 (suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością  , ponieważ nie zdarza się, aby  było zapisane w formie przedziałów. Symbol  to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację  , (kończymy przedział na 25, następny również zaczynamy od 25), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru  .

Na początku wyjaśnijmy symbol  . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły  . Upraszczając należy zsumować początek  i koniec  każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak  oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis  , a nad nim  ,  to środki kolejnych przedziałów, a  liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny  , gdzie będzie rosło od  aż do wartości  , a więc  , a więc ogólnie:

W naszym przypadku  znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest  ,  oraz  ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy

 – przedziały klasowe

(wiek pracowników)

 –

środki przedziałów

 -liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Uzupełniając  otrzymujemy wzór:

 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość  mnożymy przez odpowiadającą jej wartość  , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem  i kolumny  daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy

 –

środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe  . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję  , bo  . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco:  . Jest też alternatywa  , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania  :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna – od każdego środka przedziału  odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią  , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości  i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem  i  daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Numer klasy

 –  środki przedziałów

 – liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

 (suma)

Odchylenie standardowe  to pierwiastek z wariancji  .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór  :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis  oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla  .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku  sumujemy  i  czyli  .

grafika3

Wracamy do obliczeń i podstawiamy  (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: 

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 nieznana średnia wartość powierzchni dla populacji mieszkań wybudowanych w Gdańsku w badanym roku mieści się się w przedziale od 39,88 m2 do 43,52 m2.

Spośród kandydatów na studia ekonomiczne wybrano w losowaniu niezależnym 200 osób i zbadano je testem logicznego myślenia. Otrzymano następujące wyniki (w punktach):

Wyniki testu

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

Liczba osób

2

16

25

50

50

40

15

2

Oszacować metodą przedziałową średni wynik testu logicznego myślenia wśród kandydatów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95 oraz 0,99. Które oszacowanie jest bardziej precyzyjne?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Spośród ogrodników pewnego regionu wylosowano 180 osób i zapytano o uprawę chryzantem. Okazało się, że 120 z nich zajmuje się uprawą tych kwiatów. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,94, zbudować przedział ufności dla frakcji ogrodników uprawiających w tym regionie chryzantemy, wykorzystując wyniki próby.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W grupie losowo wybranych 300 osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60 zgonów. Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie. Zinterpretować otrzymany przedział.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Spośród mieszkańców pewnego miasta wylosowano niezależną próbę złożoną z 4000 osób i zbadano wśród nich liczbę osób, które nie tylko mieszkają w tym mieście, ale również się w nim urodziły. Na podstawie próby stwierdzono, że takich osób było 520. Przyjmując współczynnik ufności 0,95, zbudować przedział ufności dla wskaźnika struktury osób mieszkających w tym mieście i w nim urodzonych.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W wyniku kontroli jakości losowo wybranych urządzeń elektrotechnicznych produkowanych przez jeden z zakładów tej branży stwierdzono, że 6 urządzeń miało usterki techniczne. Przedziałowe oszacowanie odsetka urządzeń wadliwych w całej wyprodukowanej partii urządzeń, przy współczynniku ufności równym 0,9545, dało wynik: (0,3%; 2,7%). Ile sztuk wyrobów pobrano do próby w celu oszacowania odsetka ogółu urządzeń wadliwych?

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Wylosowano 1000 osób pochodzących z pewnego amerykańskiego miasteczka i spytano ich o posiadanie broni. 400 osób przyznało, że posiada broń w domu. Co można powiedzieć o odsetku osób posiadających broń? Współczynnik ufności wynosi 0,98. Podaj względną precyzję szacunku.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W losowo wybranej próbie 100 studentów SGH 40 osób mieszkało na stałe w Warszawie. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90:
a) oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów,
b) określić, o ile osób należy zwiększyć powyższą próbę, aby dwukrotnie wzrosła precyzja oszacowania.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W pewnym warsztacie wybrano 25 pracowników w celu ustalenia średniego czasu poświęcanego na zmontowanie jednego przyrządu. Średnia czasu montażu była równa 25 minut, a odchylenie standardowe 4 minuty. Oszacuj wariancję czasu montażu na poziomie ufności 95% .

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Czas toczenia detalu ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 2431 . Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufnościEstymacja wariancji - obraz numer 2432 , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ].

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg. Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując:(0,0115 ; 0,0724)  . Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?

a) 0,99 b) 0,98 c) 0,96 d) 0,95 e) żadna odpowiedź nie jest poprawna

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty. Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173. Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 428 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Dokonano badań drogowych 30 samochodów FSO 1500 pod względem osiąganej prędkości maksymalnej. Wyniki były następujące:

Prędkość maksymalna (km/godz.)
130 – 140
140 – 150
150 – 160
160 – 170
Liczba samochodów
3
8
14
5

Oszacować metodą przedziałową wariancję prędkości maksymalnej na poziomie ufności 0,9 (zakładamy, że rozkład prędkości maksymalnej jest normalny).

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Na podstawie próby losowej obejmującej 26 paragonów kasowych pewnego stoiska kosmetycznego otrzymano średnią kwotę zakupu wynoszącą 48,80 zł i odchylenie standardowe 15 zł. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,90, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego w zbiorowości paragonów kasowych stoiska kosmetycznego.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W celu oszacowania dyspersji jednostkowego kosztu produkcji (w zł) pewnego artykułu wytwarzanego przez różne zakłady, wylosowano do próby w niezależny sposób 196 zakładów otrzymując m.in. Estymacja odchylenie  1751 zł, Estymacja odchylenie  1752 zł. Wyznaczyć – przy współczynniku ufności 0,99 – przedział ufności dla odchylenia standardowego kosztów jednostkowych.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK). Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł. Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować – z prawdopodobieństwem 0,95 – przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Spośród rencistów województwa podkarpackiego wylosowano 60 osób i zapytano o wysokość rocznego dochodu z tytułu pobieranej renty, a wyniki przedstawiono następująco:

Dochód (w tys. zł)
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
16 – 20
20 – 24
Liczba rencistów
2
15
23
10
6
4

Źródło: dane umowne

Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego dochodu dla populacji rencistów.

Aby zobaczyć rozwiązanie tego zadania musisz wykupić abonament

Podstawowym działem wnioskowania statystycznego jest teoria estymacji, która stanowi zbiór metod pozwalających na wnioskowanie o postaci rozkładu populacji generalnej (tzn. o wartości parametrów rozkładu lub jego postaci funkcyjnej) na podstawie obserwacji uzyskanych w próbie losowej. Inaczej mówiąc, estymacja polega na szacowaniu wartości parametrów, ewentualnie postaci rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej, na podstawie rozkładu empirycznego określonego dla próby.

Jeśli szacuje się tylko wartość parametrów rozkładu populacji generalnej, mówimy o estymacji parametrycznej. Jeśli natomiast postępowanie dotyczy również szacowania postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej, mówimy o estymacji nieparametrycznej. W odniesieniu do estymacji parametrycznej można mówić o estymacji punktowej oraz estymacji przedziałowej, w zależności od sposobu, w jaki dokonuje się szacunku wartości parametrów.

W estymacji punktowej za ocenę wartości parametru przyjmuje się jedną konkretną wartość otrzymaną na podstawie wyników próby, oczywiście przy zachowaniu odpowiednich reguł wyznaczania tej wartości. Natomiast w estymacji przedziałowej wyznacza się odpowiednio pewien liczbowy przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem zawiera się wartość szacowanego parametru.

 

Podstawowe własności estymatorów

Podstawowym narzędziem estymacji punktowej jest estymator.

Estymatorem Tn parametru Θ rozkładu populacji generalnej nazywamy statystykę z próby Tn = t(X1, X2 …, Xn), która służy do oszacowania wartości tego parametru.

Jak wynika z definicji estymatora jako statystyki z próby, jest on zmienną losową, a zatem ma określony rozkład z odpowiednimi parametrami. Rozkład estymatora T w oczywisty sposób jest determinowany przez rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej, a przy tym jest zależny od parametru Θ. Wynika to z założenia, że każda z niezależnych zmiennych Xi, stanowiących próbę (których funkcją jest T), ma taki rozkład, jak zmienna X w populacji generalnej, a zatem rozkład każdej zmiennej X, jest charakteryzowany przez dystrybuantę F(x, Θ).

Ze względu na to, iż szacunku parametru dokonuje się na podstawie próby losowej, istnieje możliwość popełnienia błędu. Różnica między estymatorem a wartością parametru: Tn-Θ=d nazywana jest błędem estymacji parametru Θ. Błąd estymacji jest zmienną losową.

Formułując definicję estymatora, stwierdziliśmy, że jest to dowolna statystyka służąca do szacowania parametru. Ta „dowolność” postaci estymatora jest oczywiście ograniczona. Postać estymatora musi być logicznie uzasadniona, tzn. musimy mieć pewność, że stosując określony estymator pewnego parametru, będziemy za pomocą tego estymatora otrzymywali z próby wyniki bliskie wartości parametru. Jest oczywiste, że np. do estymacji wartości oczekiwanej w populacji generalnej nie można użyć wariancji z próby i że lepszym estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna z próby, ale takie intuicyjne określanie postaci estymatora może być zawodne – szczególnie gdy można znaleźć różne estymatory tego samego parametru. Powstaje zatem problem określenia własności „dobrego” estymatora, tzn. takiego, który zapewnia otrzymywanie wyników z próby zbliżonych do rzeczywistej wartości parametru.