Dystrybuanta – teoria

W niektórych przypadkach nie interesują nas pojedyncze wartości czy obserwacje, a ich zbiorowości, np. nie jesteśmy zainteresowani poznaniem prawdopodobieństwa wydania dokładnie 500zł na zakupach, ale interesuje nas prawdopodobieństwo wydania kwoty nie większej jak 500zł(bo na przykład mamy tylko tyle pieniędzy na koncie).

Aby obliczyć takie prawdopodobieństwo należy posłużyć się dystrybuantą – prawdopodobieństwem, że zajdzie zdarzenie nie większe od zakładanej wartości(w naszym przypadku 500zł).

FX(t) – Dystrybuanta rozkładu X w punkcie t to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie mniejsze bądź równe t, tzn. 

    \[F_{X}(t) = P( X \leq t )\]

Przykład:

wykres dystrybuanta

Czerwonym kolorem zaznaczono wartość dystrybuanty w punkcie t

Wykres dystrybuanty:

wykres dystrybuanta

Własności dystrybuanty: 

    • FX(t)∈[0,1] – dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Wynika to z własności prawdopodobieństwa, które przyjmuje umownie wartości od 0 do 1, gdzie 0 to zdarzenie niemożliwe, a 1 to zdarzenie pewne.
    • FX(t) – jest funkcją nie malejącą, czyli jeżeli weźmiemy 2 punkty t1 i t2 to jeżeli t1<t2 to FX(t1)≤FX(t2) – co oznacza że “poruszając się w prawo” wartość dystrybuanty nie będzie malała.
      Przykład: Prawdopodobieństwo, że wydamy nie więcej niż 800zł jest większe od tego, że wydamy nie więcej niż 500zł.
    • FX(t)– prawostronnie ciągła, czyli jeżeli na wykresie wystąpi nieciągłość typu skok, to otwarta kropka będzie należeć do linii po lewej stronie, a zamalowana po prawej stronie
    • Przy t dążącym do minus-nieskończoności FX(t) = 0
      Przy t dążącym do plus-nieskończoności FX(t) = 1

Chcesz jeszcze bardziej pogłębić swoją wiedzę ? Zajrzyj na poniższe strony: