Analiza wariancji – zadania

Aby zobaczyć rozwiązania zadań 2-5 należy wykupić abonament

Dla sprawdzenia, czy koszt (w zł) wizyty w prywatnym gabinecie lekarza specjalisty różni się w zależności od wielkości miasta zebrano dane dla losowo wybranych gabinetów (po 6 w każdym ośrodku) w trzech miastach różnej wielkości:
miasto duże:120, 140, 110, 100, 130, 120
miasto średnie:90, 75, 70, 80, 85, 80
miasto małe:65, 70, 75, 80, 70, 60
Przyjmując poziom istotności 0,01, sprawdzić, czy przeciętny koszt wizyty u lekarza specjalisty jest jednakowy w miastach o różnej wielkości

    \[\alpha =0,01\]

    \[n_{1}=n_{2}=n_{3}=6\]

    \[n=18\]

    \[r=3\]

    \[H_{0}:m_{1}=m_{2}=m_{3}(koszt\; wizyty\; nie\; rozni\; sie\; w\; zaleznosci\; od\; wielkosci\; miasta)\]

    \[H_{1}:m_{i}\neq m_{j} \; dla\; co\; najmniej\; jednej\; pary\; i,j\; koszty\; wizyty\; roznia\; sie\; w\; zaleznosci\; od\; wielkosci\; miasta\]

    \[\overline{Y}=(120+140+110+100+130+120+90+75+70+80+85+80+65+70+75+80+70+60)*\frac{1}{18}=90\]

    \[\overline{Y_{1}}=(120+140+110+100+130+120):6=120\]

    \[\overline{Y_{2}}=(90+75+70+80+85+80):6=80\]

    \[\overline{Y_{3}}=(65+70+75+80+70+60):6=70\]

    \[SKW=(120-120)^{2}+(140-120)^{2}+(110-120)^{2}+(100-120)^{2}+(130-120)^{2}+(120-120)^{2}+(90-90)^{2}+(75-90)^{2}+(70-90)^{2}+(80-90)^{2}+(85-90)^{2}+(80-90)^{2}+(65-70)^{2}+(70-70)^{2}+(75-70)^{2}+(80-70)^{2}+(70-70)^{2}+(60-70)^{2}=1500\]

    \[s_{w}^{2}=\frac{1500}{15}=100\]

    \[s_{m}^{2}=\frac{6(120-90)^{2}+6(80-90)^{2}+6(70-90)^{2}}{2}=4200\]

    \[F_{obl}=\frac{4200}{100}=42\]

    \[F_{0,01;2;15}=6,36\]

Odrzucamy H0 na rzecz H1. Koszty wizyty różnią się w zależności od wielkości miasta

W jednej z sal pewnego kasyna stoi 10 automatów. Przypuszcza się, że na dochody (w tyś. USD) uzyskiwane przez właściciela z automatów wpływa m.in. liczba grających i to, jak długo korzystają oni z automatów. Zorganizowano eksperyment: w pewną sobotę przy automatach rozpylano przyjemne, bardzo delikatne aromaty cytrusowe, w inną sobotę – aromaty z nutą lawendy. Zbadano również dochody w sobotę, kiedy “sztuczek” nie stosowano. Uzupełnić dane w tabeli i odpowiedzieć na pytanie, czy zapach może wpływać (poprzez liczbę grających i czas ich korzystania z automatu) na przeciętne dochody uzyskiwane przez właściciela z automatów do gry? Przyjąć α=0,05. czy zmiana poziomu istotności spowoduje zmianę decyzji ?

Numer automatuCytrynowy(x1)Lawendowy(x2)Naturalny(x2)(X1i -śrX1)2(X2i-śrX2)2(X3i -śrX3)2
15,57,95,34,410,36
27,85,14,40,490,09
36,14,83,910,64
44,96,04,10,040,36
55,45,75,00,010,09
66,36,15,10,090,16
77,54,74,31,210,16
85,55,84,80,000,01
95,07,05,51,440,64
106,04,94,60,810,01
Razem60,058,047,09,502,52

    \[H_{0}:m_{1}=m_{2}=m_{3}(rozpylone\; aromaty\; nie\; maja\; wplywu\; na\; dochody)\]

    \[H_{1}:m_{i}\neq m_{j}(rozpylone\; aromaty\; maja\; wplyw\; na\; dochody\]

    \[\overline{x_{1}}=60:10=6\]

    \[\overline{x_{2}}=58:10=5,8\]

    \[\overline{x_{3}}=47:10=4,7\]

    \[(x_{1i}-\overline{x_{1}})^{2}:\]

    \[\boldsymbol{1:}0,25\]

    \[\boldsymbol{2:}3,24\]

    \[\boldsymbol{3:}0,01\]

    \[\boldsymbol{4:}1,21\]

    \[\boldsymbol{5:}0,36\]

    \[\boldsymbol{6:}0,09\]

    \[\boldsymbol{7:}2,25\]

    \[\boldsymbol{8:}0,25\]

    \[\boldsymbol{9:}1\]

    \[\boldsymbol{10:}0\]

    \[Razem:8,66\]

    \[SKM:10*(6-5,5)^{2}+10(5,8-5,5)^{2}+10(4,7-5,5)^{2}=9,8\]

    \[SKW:8,66+9,5+2,52=20,68\]

    \[F=\frac{\frac{9,8}{2}}{\frac{20,68}{27}}=6,4\]

    \[F=\frac{\frac{SKM}{r-1}}{\frac{SKW}{n-r}}=\frac{\frac{9,8}{2}}{\frac{20,68}{27}}=6,4\]

    \[F_{0,05;2;27}=3,35\]

Odrzucamy H0 na rzecz H1 – rozpylony zapach ma wpływ na dochody z automatów. Poziom istotności nie wpłynie na zmianę decyzji.

W dużym stołecznym liceum badano wyniki egzaminu dojrzałości. Uczniów podzielono m.in. na 5 grup według dochodów na osobę w rodzinie, a następnie wylosowano po 9 maturzystów z każdej grupy. Ustalono, że suma kwadratów odchyleń międzygrupowych uzyskanych wyników wynosi 280,4, wewnątrzgrupowych zaś – 1624,8. Zapisać wyniki analizy wariancji w tabeli. Czy przeciętne wyniki na egzaminie dojrzałości różnią się istotnie pomiędzy uczniami o różnym statusie materialnym ? Przyjąć α=0,01

    \[\alpha =0,01\]

    \[r =5\]

    \[n_{1}=n_{2}=n_{3}=n_{4}=n_{5}=9\]

    \[n=45\]

    \[SKM=280,4\]

    \[SKW=1624,8\]

    \[H_{0}:m_{1}=m_{2}=m_{3}=m_{4}=m_{5}(status\; materialny\; nie\; ma\; wplywu\; na\; wyniki)\]

    \[H_{1}:m_{i}\neq m_{j}(status\; materialny \; ma\; wplyw\; na\; wyniki)\]

    \[F=\frac{\frac{280,4}{4}}{\frac{1624,8}{40}}=\frac{70,1}{40,62}=1,73\]

    \[F_{0,01;4;40}=3,83\]

Brak podstaw do odrzucenia H0. Status nie ma wpływu na wyniki.

W pewnej sieci sklepów kosmetycznych zrealizowano badanie, które miało przesądzić, jaki rodzaj promocji najbardziej przekonuje klientów. Poniżej zaprezentowano trzy propozycje promocji (A,B,C):

A.hasło “Kup szampon za 20zł, a odżywkę dostaniesz gratis”

B. zdjęcie obu produktów z przekreśloną sumą 50zł i napis “Dziś 60% taniej”

C. hasło “Kup szampon i odżywkę za 20zł”

W 18 losowo wybranych sklepach o podobnej wielkości i liczbie klientów w ustalonym dniu proponowano klientom trzy wyżej wymienione rodzaje promocji (po 6 sklepów dla każdego rodzaju). Oto jak przedstawiała się sprzedaż (w szt.) tego dnia:

Numer sklepuPromocja A (X1)Promocja B (X2)Promocja C (X3)(X1i-śrX1)(X2i-śrX2)(X3i-śrX3)
1293140190
226283516025
3312542194
4272638944
5343050
63328359025
Razem180168240

Uzupełnić brakujące obliczenia. Czy wyniki sprzedaży potwierdzają tezę, że każdy z trzech rodzajów promocji jest jednakowo skuteczny, czy też przeciwnie – średnia sprzedaż różni się istotnie w zależności od typu promocji ? Przyjąć α=0,05

    \[H_{0}:m_{1}=m_{2}=m_{3}(haslo\; promocji\; nie\; ma\; wplywu\; na\; wyniki)\]

    \[H_{1}:m_{i}\neq m_{j}(haslo\; promocji \; ma\; wplyw\; na\; wyniki)\]

    \[\overline{x_{A}}=180:6=30\]

    \[\overline{x_{B}}=168:6=28\]

    \[\overline{x_{C}}=240:6=40\]

    \[Brakujace:\]

    \[(34-30)^{2}=16\]

    \[(30-28)^{2}=4\]

    \[(50-40)^{2}=100\]

    \[\sum (x_{1i}-\overline{x}_{1})^{2}=1+16+1+9+16+9=52\]

    \[\sum (x_{2i}-\overline{x}_{2})^{2}=9+9+4+4=26\]

    \[\sum (x_{3i}-\overline{x}_{3})^{2}=25+4+4+100+25=158\]

    \[SKW=52+26+158=236\]

    \[\overline{Y}=\frac{1}{18}(180+168+240=32,66)\]

    \[SKM=6*(30-32,7)^{2}+6*(28-32,7)^{2}+6*(40-32,7)^{2}=43,74+132,54+319,74=496,02\]

    \[F=\frac{\frac{496,02}{2}}{\frac{236}{15}}=\frac{248,01}{15,73}=15,77\]

    \[F_{0,05;2;15}=3,68\]

Odrzucamy H0 na rzecz H1 – Hasło promocji ma wpływ na zysk ze sprzedaży.

Badając wpływ poziomu edukacji na czas (w godz.) poświęcony na oglądanie telewizji, dla losowo wybranych osób z poszczególnych grup wykształcenia otrzymano wyniki:

Poziom wykształceniaPrzeciętny czas oglądania TVLiczba osób
Podstawowe 3,521
Zawodowe3,616
Średnie3,415
Wyższe3,318

Na podstawie przedstawionych danych sprawdzić, czy średni czas poświęcony na oglądanie telewizji jest w istotny sposób różnicowany poprzez poziom wykształcenia, wiedząc, że suma kwadratów odchyleń wewnątrzgrupowych wynosi 13,2. Przyjąć α=0,025

    \[H_{0}:m_{1}=m_{2}=m_{3}(haslo\; promocji\; nie\; ma\; wplywu\; na\; wyniki)\]

    \[H_{1}:m_{i}\neq m_{j}(haslo\; promocji \; ma\; wplyw\; na\; wyniki)\]

    \[\overline{x_{A}}=180:6=30\]

    \[\overline{x_{B}}=168:6=28\]

    \[\overline{x_{C}}=240:6=40\]

    \[Brakujace:\]

    \[(34-30)^{2}=16\]

    \[(30-28)^{2}=4\]

    \[(50-40)^{2}=100\]

    \[\sum (x_{1i}-\overline{x}_{1})^{2}=1+16+1+9+16+9=52\]

    \[\sum (x_{2i}-\overline{x}_{2})^{2}=9+9+4+4=26\]

    \[\sum (x_{3i}-\overline{x}_{3})^{2}=25+4+4+100+25=158\]

    \[SKW=52+26+158=236\]

    \[\overline{Y}=\frac{1}{18}(180+168+240=32,66)\]

    \[SKM=6*(30-32,7)^{2}+6*(28-32,7)^{2}+6*(40-32,7)^{2}=43,74+132,54+319,74=496,02\]

    \[F=\frac{\frac{496,02}{2}}{\frac{236}{15}}=\frac{248,01}{15,73}=15,77\]

    \[F_{0,05;2;15}=3,68\]

Odrzucamy H0 na rzecz H1 – Hasło promocji ma wpływ na zysk ze sprzedaży.